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专题讲座二共点力的平衡核心探究演练提升核心探究分类探究·各个击破考点一平衡条件的应用解决平衡问题的常用方法合成法物体受三个共点力的作用而平衡,则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等,方向相反效果分解法物体受三个共点力的作用而平衡,将某一个力按力的效果分解,则其分力和其他两个力满足平衡条件正交分解法物体受到三个或三个以上力的作用时,将物体所受的力分解为相互垂直的两组,每组力都满足平衡条件力的三角形法对受三力作用而平衡的物体,将表示力的矢量平移使三力组成一个首尾依次相接的矢量三角形,然后根据数学知识求解未知力【典例1】(2017·全国Ⅲ卷,17)一根轻质弹性绳的两端分别固定在水平天花板上相距80cm的两点上,弹性绳的原长也为80cm.将一钩码挂在弹性绳的中点,平衡时弹性绳的总长度为100cm;再将弹性绳的两端缓慢移至天花板上的同一点,则弹性绳的总长度变为(弹性绳的伸长始终处于弹性限度内)()A.86cmB.92cmC.98cmD.104cm〚审题指导〛B题干关键获取信息将一钩码挂在弹性绳中点钩码两侧弹性绳弹力大小相等弹性绳两端相距80cm,原长80cm,平衡时弹性绳总长度为100cm弹性绳伸长20cm,弹性绳与天花板夹角为37°两端缓慢移至天花板上的同一点钩码始终处于平衡,钩码重力不变,可求得弹性绳的伸长解析:设弹性绳的劲度系数为k.挂上钩码后弹性绳伸长ΔL=20cm,由几何关系可知,钩码两侧弹性绳与竖直方向夹角为53°,如图所示,由共点力的平衡条件可知,钩码的重力为G=2kΔLcos53°将弹性绳的两端缓慢移至天花板上的同一点时,钩码的重力为G=2kΔL′,解得ΔL′=ΔL=12cm.弹性绳的总长度变为L0+ΔL′=92cm,选项B正确.35方法总结应用平衡条件解题的步骤(1)选取研究对象:根据题目要求,选取一个平衡体(单个物体或系统,也可以是结点)作为研究对象.(2)画受力示意图:对研究对象进行受力分析,画出受力示意图.(3)三个力直接合成或正交分解,四个及四个以上的力正交分解.(4)列方程求解:根据平衡条件列出平衡方程,解平衡方程,对结果进行讨论.【典例2】如图所示,四分之一光滑圆弧面AB与倾角为60°的光滑斜面AC顶部相接,A处有一光滑的定滑轮,跨过定滑轮用轻质细绳连接质量分别为m1,m2的两小球,系统静止时连接的绳子与水平方向的夹角为60°.两小球及滑轮大小可忽略,则两小球质量的比值m1∶m2为()A.1∶2B.3∶2C.2∶3D.∶23B解析:对m1,m2受力分析如图所示,对m1有:m1g=2Tcos30°=3T,解得T=33m1g,对m2有:T=m2gsin60°=32m2g,解得m1∶m2=3∶2.多维训练1.[应用合成法解决平衡问题](2018·宁夏银川模拟)(多选)两物体M,m用跨过光滑定滑轮的轻绳相连,如图所示,OA,OB与水平面的夹角分别为30°,60°,M,m均处于静止状态.则()A.绳OA对M的拉力大小大于绳OB对M的拉力大小B.绳OA对M的拉力大小小于绳OB对M的拉力大小C.m受到水平面的静摩擦力大小为零D.m受到水平面的静摩擦力的方向水平向左BD解析:取O点为研究对象进行受力分析,如图所示,则有FAFB,所以m受水平面的静摩擦力的方向水平向左,故选项B,D正确.2.[应用解析法解决平衡问题](2018·河北衡水二中月考)如图所示,一直杆倾斜固定并与水平方向成30°的夹角;直杆上套有一个质量为0.5kg的圆环,圆环与轻弹簧相连,在轻弹簧上端施加一竖直向上、大小F=10N的力,圆环处于静止状态.已知直杆与圆环之间的动摩擦因数为0.7,g=10m/s2.下列说法正确的是()A.圆环受到直杆的弹力,方向垂直直杆向上B.圆环受到直杆的弹力大小等于2.5NC.圆环受到直杆的摩擦力,方向沿直杆向上D.圆环受到直杆的摩擦力大小等于2.5ND解析:因弹簧的拉力F=10Nmg=5N,所以圆环受到垂直直杆向下的支持力N.同理,拉力沿直杆向上的分力F1=Fsin30°=5N,大于重力沿直杆向下的分力,所以圆环受到沿直杆向下的摩擦力f,如图所示.由平衡条件得出,垂直直杆方向N+mgcos30°=Fcos30°,沿直杆方向f+mgsin30°=Fsin30°,解得N=532N,f=2.5N,D正确.3.导学号58826035[应用三角形的性质求解平衡问题](2018·安徽合肥市一中月考)(多选)表面光滑、半径为R的半球固定在水平地面上,球心O的正上方O′处有一无摩擦定滑轮,轻质细绳两端各系一个可视为质点的小球挂在定滑轮上,如图所示.两小球平衡时,若滑轮两侧细绳的长度分别为L1=2.4R和L2=2.5R,则这两个小球的质量之比为12mm,小球与半球之间的压力之比为12NN,则以下说法正确的是()A.12mm=2425B.12mm=2524C.12NN=2524D.12NN=2425BC解析:先以左侧小球为研究对象,分析受力情况:重力m1g,绳子的拉力T1和半球的支持力N1,如图所示,由平衡条件得知,拉力T1和支持力N1的合力与重力m1g大小相等、方向相反.设OO′=h,根据三角形相似得11TL=1NR=1mgh,解得m1g=11ThL,N1=11TRL.同理,以右侧小球为研究对象,得m2g=22ThL,N2=22TRL,而T1=T2,则12mm=21LL=2524,12NN=21LL=2524.考点二“死结”与“活结”“动杆”与“定杆”问题1.“死结”可理解为把绳子分成两段,且不可以沿绳子移动的结点.“死结”两侧的绳因结而变成了两根独立的绳,因此由“死结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等.2.“活结”可理解为把绳子分成两段,且可以沿绳子移动的结点.“活结”一般是由绳跨过滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的.绳子虽然因“活结”而弯曲,但实际上是同一根绳,所以由“活结”分开的两段绳子上弹力的大小一定相等,两段绳子合力的方向一定沿这两段绳子夹角的平分线.3.“动杆”:轻杆用转轴或铰链连接,可以绕轴自由转动.当杆处于平衡时,杆所受到的弹力方向一定沿着杆,否则会引起杆的转动.4.“定杆”:轻杆被固定不发生转动.则杆所受到的弹力方向不一定沿杆的方向.杆所受到的弹力方向可以沿着杆,也可以不沿杆.【典例3】(2018·湖北武汉调研)如图所示,直杆BC的一端用铰链固定于竖直墙壁,另一端固定一个小滑轮C,细绳下端挂一重物,细绳的AC段水平.不计直杆、滑轮及细绳的质量,忽略所有摩擦.若将细绳的端点A稍向下移至A′点,使之重新平衡,则此时滑轮C的位置()A.在A点之上B.与A′点等高C.在A′点之下D.在AA′之间A〚审题指导〛题干关键获取信息直杆BC的另一端固定一个小滑轮C,细绳下端挂一重物绳子为“活结”问题.两段绳子作用在小滑轮上的力相等,等于重物的重力直杆BC的一端用铰链固定于竖直墙壁直杆为“动杆”问题.稳定后绳对杆的两个力的合力方向一定沿着杆向下细绳的AC段水平绳对杆的两个力的夹角等于90°细绳的端点A稍向下移至A′点绳对杆的两个力的夹角小于90°解析:由于杆处于平衡状态,两段细绳拉力的合力沿杆向下,又由于同一根绳子的张力大小处处相等,而且两细绳的拉力大小相等且等于重物的重力G,根据平行四边形定则,合力一定在两绳拉力夹角的角平分线上.细绳的AC段水平时,∠ACB=45°;将细绳的端点A稍向下移到A′点,杆再次平衡时,∠A′CB45°,所以BC杆应向上转动一定的角度,此时C在A点之上,故选项A正确.多维训练1.[“动杆”与“定杆”问题](多选)如图所示,位于水平面上的小车,固定在小车上的支架的斜杆与竖直杆的夹角为θ,在斜杆的下端固定有质量为m的小球.下列关于杆对球的作用力F的判断中,正确的是()A.小车静止时,F=mgsinθ,方向沿杆向上B.小车静止时,F=mgcosθ,方向垂直于杆向上C.小车向右做匀速运动时,一定有F=mg,方向竖直向上D.小车向右做匀加速运动时,一定有Fmg,方向可能沿杆向上CD解析:小车静止或匀速向右运动时,小球的加速度为零,合力为零,由平衡条件可得,杆对球的作用力竖直向上,大小为F=mg,故A,B错误,C正确;若小车向右匀加速运动,小球的合力沿水平方向向右,如图所示,由图可知,Fmg,方向可能沿杆向上,故D正确.2.[“死结”与“活结”问题](2018·江西师大附中月考)如图所示,一根轻质细绳一端固定于竖直墙上的A点,另一端绕过轻质动滑轮P悬挂一重物B,其中绳子的PA段处于水平状态;另一根轻质细绳一端与轻质动滑轮相连,另一端在绕过轻质定滑轮Q后在细绳的端点O处施加一水平向左的拉力F,使整个系统处于平衡状态,不计一切摩擦,下列说法正确的是()A.保持绳子的端点O位置不变,将A点缓慢上移时拉力F增大B.保持绳子的端点O位置不变,将A点缓慢上移时拉力F不变C.保持A点的位置不变,拉动绳子的端点O使其向左缓慢移动时拉力F增大D.保持A点的位置不变,拉动绳子的端点O使其向左缓慢移动时拉力F不变C解析:以B为研究对象,AP,BP段绳子受的力大小始终等于B的重力,两段绳子拉力的合力在∠APB的角平分线上,保持绳子的端点O位置不变,将A点缓慢上移时∠APB增大,两段绳子拉力的合力减小,所以拉力F减小,选项A,B错误;保持A点的位置不变,拉动绳子的端点O使其向左缓慢移动时∠APB减小,AP,BP两段绳子拉力的合力增大,所以拉力F增大,选项C正确,D错误.考点三动态平衡问题1.动态平衡平衡物体所受某力发生变化,使得其他力也发生变化的平衡问题.2.基本思路化“动”为“静”,“静”中求“动”.3.分析动态平衡问题的两种方法方法步骤解析法(1)列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式(2)根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况图解法(1)根据已知量的变化情况,画出力的平行四边形(或三角形)边、角的变化(2)确定未知量大小、方向的变化【典例4】(2017·全国Ⅰ卷,21)(多选)如图,柔软轻绳ON的一端O固定,其中间某点M拴一重物,用手拉住绳的另一端N.初始时,OM竖直且MN被拉直,OM与MN之间的夹角为α（α）.现将重物向右上方缓慢拉起,并保持夹角α不变,在OM由竖直被拉到水平的过程中()A.MN上的张力逐渐增大B.MN上的张力先增大后减小C.OM上的张力逐渐增大D.OM上的张力先增大后减小π2AD〚核心点拨〛(1)重物在运动过程中受到三个力的作用,用图解法分析这三个力的变化关系较为简捷.(2)这三个力构成矢量三角形,三角形中重力对应的边不改变;两段线的两个拉力对应的两条边是变化的,但无论这两条边如何变化,这两条边的夹角是不变的.(3)在同一个圆中,某一不变的弦对应的同侧的圆周角都相等.解析:由题意可知,重物在运动过程中受重力,MN绳拉力TMN,OM绳拉力TOM,TMN与TOM夹角保持不变.在某一时刻所受三个力示意图如图(甲)所示,将此三个力平移为矢量三角形如图(乙)所示.因为mg大小、方向不变,TMN与TOM的夹角不变,故可将三个力平移入圆中,如图(丙)所示,mg为一条固定的弦(固定的弦所对应的圆周角为定值),在OM由竖直拉到水平的过程中,可得TMN从0逐渐变大,OM水平时TMN最大.TOM先变大后变小,故C错,D对.方法技巧分析动态平衡问题的技巧(1)当出现直角三角形或常用三角函数时,应用解析法解决动态平衡问题较为简捷.(2)当出现物体受三个力,一个力恒定,另一个力方向不变,第三个力方向变化(或另外两力大小、方向均变化)时,应用图解法解决动态平衡问题较为简捷.(3)应用图解法时要在同一图上多作几个力的矢量三角形.【典例5】有一个直角支架AOB,AO水平放置,表面粗糙,OB竖直放置,表面光滑,AO上套有小环P,OB上套有小环Q,两环质量均为m,两环间有一质量可忽略、不可伸长的细绳相连,并在某一位置平衡,如图,现将P环向左移一小段距离,两环再次达到平衡,那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较,AO杆对P环的支持力N和细绳上的拉力T的变化情况是()A.N不变,T变大B.N不变,T变小C.N变大,T变大D.N变大