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10电磁感应专题三电磁感应中的电路和图象问题楞次定律考点突破1．对电源的理解在电磁感应现象中，产生感应电动势的那部分导体就相当于电源，如切割磁感线的导体棒、有磁通量变化的线圈等，这种电源将其他形式的能转化为电能．2．对电路的理解内电路是切割磁感线的导体或磁通量发生变化的线圈，外电路由电阻、电容等电学元件组成．3．问题分类(1)确定等效电源的正负极、感应电流的方向、电势高低、电容器极板的带电性质等问题．(2)根据闭合电路求解电路中的总电阻、路端电压、电功率等问题．(3)根据电磁感应的平均感应电动势求解电路中通过的电荷量．题型1电动势与路端电压的计算【例1】(2019年唐山模拟)在同一水平面上的光滑平行导轨P、Q相距l＝1m，导轨左端接有如图3－1所示的电路．其中水平放置的平行板电容器两极板M、N相距d＝10mm，定值电阻R1＝R2＝12Ω，R3＝2Ω，金属棒ab的电阻r＝2Ω，其他电阻不计．磁感应强度B＝0.5T的匀强磁场竖直穿过导轨平面，当金属棒ab沿导轨向右匀速运动时，悬浮于电容器两极板之间的质量m＝1×10－14kg、电荷量q＝－1×10－14C的微粒恰好静止不动．取g＝10m/s2，在整个运动过程中金属棒与导轨接触良好，且速度保持恒定．试求：图3－1(1)匀强磁场的方向；(2)ab两端的路端电压；(3)金属棒ab运动的速度．【解析】(1)带负电电荷微粒受到重力和电场力的作用处于静止状态，因为重力竖直向下，所以电场力竖直向上，故M板带正电．ab棒向右做切割磁感线运动产生感应电动势，ab棒等效于电源，感应电流方向由b→a，其a端相当于电源的正极，由右手定则可判断，磁场方向竖直向下．(2)微粒受到重力和电场力的作用处于静止状态，根据平衡条件有mg＝Eq又E＝UMNd，所以UMN＝mgdq＝0.1VR3两端电压与电容器两端电压相等，由欧姆定律得通过R3中的电流为I＝UMNR3＝0.05A则ab棒两端的电压为Uab＝UMN＋IR1R2R1＋R2＝0.4V.(3)由法拉第电磁感应定律得感应电动势E＝Blv由闭合电路欧姆定律得E＝Uab＋Ir＝0.5V联立解得v＝1m/s.【答案】(1)竖直向下(2)0.4V(3)1m/s题型2电功、电热和电量的计算【例2】(2019年陕西西安中学月考)(多选)如图3－2所示，平行金属导轨与水平面成θ角，导轨与固定电阻R1和R2相连，匀强磁场垂直穿过导轨平面．有一导体棒ab，质量为m，导体棒的电阻与固定电阻R1和R2的阻值均相等，与导轨之间的动摩擦因数为μ，导体棒ab沿导轨向上滑动，当上滑的速度为v时，受到安培力的大小为F.此时()图3－2A．整个装置因摩擦而消耗的热功率为μmgvcosθB．整个装置消耗的机械功率为(F＋μmgcosθ)vC．电阻R1消耗的热功率为Fv3D．电阻R2消耗的热功率为Fv4【解析】此时整个装置因摩擦而消耗的热功率为Pf＝fv＝μmgvcosθ，故A正确；设导体棒ab的长度为L，磁感应强度为B，电阻R1＝R2＝R，电路中感应电动势E＝BLv，ab中感应电流为I＝ER＋R2＝2BLv3R，棒ab所受安培力为F＝BIL＝2B2L2v3R，电阻R1消耗的热功率为P1＝12I2R＝B2L2v29R，故P1＝16Fv，电阻R1和R2阻值相等，它们消耗的热功率相等，则P1＝P2＝16Fv，整个装置消耗的机械功率为P3＝Fv＋Pf＝(F＋μmgcosθ)v，故B正确，C、D错误．【答案】AB变式训练1(2019年中山二模)(多选)如图3－3所示，在水平桌面上放置两条相距为l的平行光滑导轨ab与cd，阻值为R的电阻与导轨的a、c端相连．质量为m、电阻也为R的导体棒垂直于导轨放置并可沿导轨自由滑动．整个装置放于匀强磁场中，磁场的方向竖直向上，磁感应强度的大小为B.导体棒的中点系一不可伸长的轻绳，绳绕过固定在桌边的光滑轻滑轮后，与一个质量也为m的物块相连，绳处于拉直状态．现若从静止开始释放物块，用h表示物块下落的高度(物块不会触地)，g表示重力加速度，其他电阻不计，则()图3－3A．电阻R中的感应电流方向由c到aB．物块下落的最大加速度为gC．若h足够大，物块下落的最大速度为2mgRB2l2D．通过电阻R的电荷量为BlhR解析：由右手定则可知，电阻R中的感应电流方向由c到a，A正确；物块刚下落时加速度最大，由牛顿第二定律有2mam＝mg，最大加速度：am＝g2，B错误；对导体棒与物块组成的整体，当所受的安培力与物块的重力平衡时，达到最大速度，即B2l2vm2R＝mg，所以vm＝2mgRB2l2，C正确；通过电阻R的电荷量q＝ΔΦΔR＝Blh2R，D错误．答案：AC变式训练2(2019年山东潍坊统考)(多选)在如图3－4甲所示的电路中，电阻R1＝R2＝2R，圆形金属线圈半径为r1，线圈导线的电阻为R，半径为r2(r2r1)的圆形区域内存在垂直于线圈平面向里的匀强磁场，磁感应强度B随时间t变化的关系图线如图3－4乙所示，图线与横、纵轴的交点坐标分别为t0和B0，其余导线的电阻不计．闭合S，至t1时刻，电路中的电流已稳定，下列说法正确的是()图3－4A．电容器上极板带正电B．电容器下极板带正电C．线圈两端的电压为B0πr21t0D．线圈两端的电压为4B0πr225t0解析：由楞次定律知圆形金属线圈内的感应电流方向为顺时针方向，金属线圈相当于电源，电源内部的电流从负极流向正极，则电容器的下极板带正电，上极板带负电，A错，B对．由法拉第电磁感应定律知感应电动势为E＝ΔΦΔt＝ΔBΔtS＝B0t0×πr22.由闭合电路欧姆定律得感应电流为I＝ER＋R1＋R2，所以线圈两端的电压U＝I(R1＋R2)＝4B0πr225t0，C错，D对．答案：BD特别提醒：解决电磁感应中的电路问题的基本步骤(1)“源”的分析：用法拉第电磁感应定律算出E的大小，用楞次定律或右手定则确定感应电动势的方向(感应电流方向是电源内部电流的方向)，从而确定电源正负极，明确内阻r.(2)“路”的分析：根据“等效电源”和电路中其他各元件的连接方式画出等效电路．(3)根据E＝BLv或E＝nΔΦΔt，结合闭合电路欧姆定律、串并联电路知识、电功率、焦耳定律等相关关系式联立求解．1．图象问题图象类型(1)磁感应强度B、磁通量Φ、感应电动势E和感应电流I随时间t变化的图象，即B－t图象、Φ－t图象、E－t图象和I－t图象(2)对于切割磁感线产生感应电动势和感应电流的情况，还常涉及感应电动势E和感应电流I随导体位移x变化的图象，即E－x图象和I－x图象问题类型(1)由给定的电磁感应过程选出或画出正确的图象(2)由给定的有关图象分析电磁感应过程，求解相应的物理量应用知识右手定则、安培定则、楞次定律、法拉第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿运动定律和相关数学知识等2.图象问题的特点与求解(1)图象问题的特点考查方式比较灵活，有时根据电磁感应现象发生的过程，确定图象的正确与否，有时根据不同的图象，进行综合计算．(2)图象问题的求解类型类型求解流程据电磁感应过程选图象据图象分析判断电磁感应过程题型1根据图象分析判断电磁感应过程【例3】(2017年高考·课标全国卷Ⅱ)(多选)两条平行虚线间存在一匀强磁场，磁感应强度方向与纸面垂直．边长为0.1m、总电阻为0.005Ω的正方形导线框abcd位于纸面内，cd边与磁场边界平行，如图3－5(a)所示．已知导线框一直向右做匀速直线运动，cd边于t＝0时刻进入磁场．线框中感应电动势随时间变化的图线如图3－5(b)所示(感应电流的方向为顺时针时，感应电动势取正)．下列说法正确的是()图3－5A．磁感应强度的大小为0.5TB．导线框运动速度的大小为0.5m/sC．磁感应强度的方向垂直于纸面向外D．在t＝0.4s至t＝0.6s这段时间内，导线框所受的安培力大小为0.1N【解析】由题图(b)可知，导线框运动的速度大小v＝Lt＝0.10.2m/s＝0.5m/s，B项正确；导线框进入磁场的过程中，cd边切割磁感线，由E＝BLv，得B＝ELv＝0.010.1×0.5T＝0.2T，A项错误；由图可知，导线框进入磁场的过程中，感应电流的方向为顺时针方向，根据楞次定律可知，磁感应强度方向垂直纸面向外，C项正确；在0.4～0.6s这段时间内，导线框正在出磁场，回路中的电流大小I＝ER＝0.010.005A＝2A，则导线框受到的安培力F＝BIL＝0.2×2×0.1N＝0.04N，D项错误．【答案】BC题型2根据电磁感应过程选择图象【例4】(2019年临沂模拟)将一均匀导线围成一圆心角为90°的扇形导线框OMN，其中OM＝R，圆弧MN的圆心为O点，将导线框的O点置于如图3－6所示的直角坐标系的原点，其中第二和第四象限存在垂直纸面向里的匀强磁场，其磁感应强度大小为B，第三象限存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为2B.从t＝0时刻开始让导线框以O点为圆心，以恒定的角速度ω沿逆时针方向做匀速圆周运动，假定沿ONM方向的电流为正，则线框中的电流随时间的变化规律描绘正确的是()图3－6【解析】在0～t0时间内，线框从图示位置开始(t＝0)转过90°的过程中，产生的感应电动势为E1＝12Bω·R2，由闭合电路欧姆定律得，回路中的电流为I1＝E1r＝BωR22r，根据楞次定律判断可知，线框中感应电流方向为逆时针方向(沿ONM方向)．在t0～2t0时间内，线框进入第三象限的过程中，回路中的电流方向为顺时针方向(沿OMN方向)．回路中产生的感应电动势为E2＝12Bω·R2＋12·2Bω·R2＝32BωR2＝3E1；感应电流为I2＝3I1.在2t0～3t0时间内，线框进入第四象限的过程中，回路中的电流方向为逆时针方向(沿ONM方向)，回路中产生的感应电动势为E3＝12Bω·R2＋12·2Bω·R2＝32Bω·R2＝3E1；感应电流为I3＝3I1.在3t0～4t0时间内，线框出第四象限的过程中，回路中的电流方向为顺时针方向(沿OMN方向)，回路中产生的感应电动势为E4＝12Bω·R2，由闭合电路欧姆定律得，回路电流为I4＝I1，B对．【答案】B【例5】(2019年湖北黄冈质检)如图3－7所示，虚线P、Q、R间存在着磁感应强度大小相等、方向相反的匀强磁场，磁场方向均垂直于纸面，磁场宽度均为L，一等腰直角三角形导线框abc，ab边与bc边长度均为L，bc边与虚线边界垂直．现让线框沿bc方向匀速穿过磁场区域，从c点经过虚线P开始计时，以逆时针方向为导线框中感应电流i的正方向，则下列四个图象中能正确表示i－t图象的是()图3－7【解析】由右手定则可知导线框从左侧进入磁场时，电流方向为逆时针方向，即沿正方向，且逐渐增大，导线框刚好完全进入P、Q之间的瞬间，电流由正向最大值变为零，然后电流方向变为顺时针且逐渐增加，当导线框刚好完全进入P、Q之间的瞬间，电流由负向最大值变为零．故A正确．【答案】A题型3由电磁感应过程判断或画出图象【例6】(2019年福建模拟)在一周期性变化的匀强磁场中有一圆形闭合线圈，线圈平面与磁场垂直，如图3－8甲所示，规定图中磁场方向为正．已知线圈的半径为r、匝数为N，总电阻为R，磁感应强度的最大值为B0，变化周期为T，磁感应强度按图3－8乙所示规律变化，求：图3－8(1)在0～16T内线圈产生的感应电流的大小I1；(2)规定甲图中感应电流的方向为正方向，在图丙中画出一个周期内的i－t图象，已知图中I0＝3πr2NB0RT；(3)在一个周期T内线圈产生的电热Q.【解析】(1)在0～16T内感应电动势E1＝NΔΦ1Δt1磁通量的变化ΔΦ1＝B0πr2解得E1＝6πNr2B0T线圈中感应电流大小I1＝E1R＝6πNr2B0RT.(2)如图3－9所示．图3－9(3)在0～16T和56T～T两个时间段内产生的热量相同，有Q1＝Q3＝I21R·16T在16T～56T时间内产生的热量Q2＝I22R·46T一个周期内产生的总热量Q＝Q1＋Q2＋Q3＝18π2N2r4B20RT.【答案】(1)6πNr2B0RT(2)见解析图(3)18π2N2r