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计算题专练(四)共2小题，共32分。要求写出必要的文字说明和方程式，只写最后结果不给分。1．(2019·四川南充三诊)(12分)“嫦娥四号”飞船在月球背面着陆过程如下：在反推火箭作用下，飞船在距月面100米处悬停，通过对障碍物和坡度进行识别，选定相对平坦的区域后，开始以a＝2m/s2垂直下降。当四条“缓冲脚”触地时，反推火箭立即停止工作，随后飞船经2s减速到0，停止在月球表面上。飞船质量m＝1000kg，每条“缓冲脚”与地面的夹角为60°，月球表面的重力加速度g＝3.6m/s2，四条“缓冲脚”的质量不计。求：(1)飞船垂直下降过程中，火箭推力对飞船做了多少功；(2)从“缓冲脚”触地到飞船速度减为0的过程中，每条“缓冲脚”对飞船的冲量大小。答案(1)－1.6×105J(2)1360033N·s解析(1)飞船加速下降时，由牛顿第二定律，有：mg－F＝ma推力对火箭做功为：W＝－Fh解得：W＝－1.6×105J。(2)设“缓冲脚”触地时飞船的速度为v，飞船垂直下降的过程中，有：v2＝2ah从“缓冲脚”触地到飞船速度减为0的过程中，设每条“缓冲脚”对飞船的冲量大小为I，根据动量定理，有：4Isin60°－mgt＝0－(－mv)解得：I＝1360033N·s。2．(2019·广东深圳二模)(20分)如图a所示，整个空间存在竖直向上的匀强电场(平行于纸面)，在同一水平线上的两位置，以相同速率同时喷出质量均为m的油滴a和b，带电量为＋q的a水平向右，不带电的b竖直向上。b上升高度为h时，到达最高点，此时a恰好与它相碰，瞬间结合成油滴P。忽略空气阻力，重力加速度为g。求：(1)油滴b竖直上升的时间及两油滴喷出位置的距离；(2)匀强电场的场强及油滴a、b结合为P后瞬间的速度；(3)若油滴P形成时恰位于某矩形区域边界，取此时为t＝0时刻，同时在该矩形区域加一个垂直于纸面的周期性变化的匀强磁场，磁场变化规律如图b所示，磁场变化周期为T0(垂直纸面向外为正)，已知P始终在矩形区域内运动，求矩形区域的最小面积。(忽略磁场突变的影响)答案(1)2hg2h(2)2mgqgh，方向斜向右上方，与水平方向夹角为45°(3)ghT202π2解析(1)设油滴的喷出速率为v0，油滴b做竖直上抛运动，有：0＝v20－2gh，解得：v0＝2gh0＝v0－gt0，解得：t0＝2hg油滴a在水平方向做匀速直线运动，对油滴a的水平分运动，有：x0＝v0t0，解得：x0＝2h。(2)两油滴结合之前，油滴a做类平抛运动，设加速度为a，则：qE－mg＝mah＝12at20解得：a＝g，E＝2mgq油滴的喷出速率为v0，设结合前瞬间油滴a的速度大小为va，方向斜向右上方，与水平方向的夹角为θ，则：v0＝vacosθ，v0tanθ＝at0解得：va＝2gh，θ＝45°两油滴的结合过程动量守恒：mva＝2mvP联立解得vP＝gh，方向斜向右上方，与水平方向夹角为45°。(3)因为qE＝2mg，所以油滴P在磁场中做匀速圆周运动，设轨迹半径为r，周期为T。由洛伦兹力提供向心力，有：qvP8πmqT0＝2mv2Pr解得：r＝T0gh4π由T＝2πrvP，解得T＝12T0即油滴P在磁场中的运动轨迹是两个外切圆组成的“8”字形，最小矩形的两条边分别为2r和4r，轨迹如图，最小面积为：Smin＝2r×4r＝ghT202π2。