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计算题专练(二)共2小题，共32分。要求写出必要的文字说明和方程式，只写最后结果不给分。1.(2019·昆明市模拟)(12分)2018年10月23日，港珠澳大桥开通，这是建筑史上里程最长、投资最多、施工难度最大的跨海大桥。如图所示的水平路段由一段半径为48m的圆弧形弯道和直道组成。现有一总质量为2.0×103kg、额定功率为90kW的测试汽车通过该路段，汽车可视为质点，取重力加速度g＝10m/s2。(1)若汽车通过弯道时做匀速圆周运动，路面对轮胎的径向最大静摩擦力是车重的1.2倍，求该汽车安全通过此弯道的最大速度；(2)若汽车由静止开始沿直道做加速度大小为3m/s2的匀加速运动，在该路段行驶时受到的阻力为车重的0.15倍，求该汽车匀加速运动的时间及3s末的瞬时功率。答案(1)24m/s(2)3.3s81kW解析(1)径向最大静摩擦力提供向心力时，汽车通过此弯道的速度最大，设最大速度为vm，则有：f径向＝mv2mr根据题意f径向＝1.2mg代入数据解得：vm＝24m/s。(2)汽车在匀加速过程中：F－f＝ma当功率达到额定功率时，P0＝Fv1v1＝at1代入数据解得：t1＝3.3st＝3st1＝3.3s则汽车在该过程中始终做匀加速运动，有：v＝atP＝Fv则3s末发动机功率为：P＝81kW。2．(2019·成都市三诊)(20分)如图，竖直面内固定的绝缘轨道abc，由半径R＝3m的光滑圆弧段bc与长L＝1.5m的粗糙水平段ab在b点相切而构成，O点是圆弧段的圆心，Oc与Ob的夹角θ＝37°；过c点的竖直虚线左侧有方向竖直向上、场强大小E＝10N/C的匀强电场，Ocb的外侧有一长度足够长、宽度d＝1.6m的矩形区域efgh，ef与Oc交于c点，ecf与水平向右的方向所成的夹角为β(53°≤β≤147°)，矩形区域内有方向垂直纸面向里的匀强磁场。质量m2＝3×10－3kg、电荷量q＝3×10－3C的带正电小物体Q静止在圆弧轨道上b点，质量m1＝1.5×10－3kg的不带电小物体P从轨道右端a以v0＝8m/s的水平速度向左运动，P、Q碰撞时间极短，碰后P以1m/s的速度水平向右弹回。已知P与ab间的动摩擦因数μ＝0.5，P、Q均可视为质点，Q的电荷量始终不变，忽略空气阻力，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度大小g＝10m/s2。求：(1)碰后瞬间，圆弧轨道对物体Q的弹力大小FN；(2)当β＝53°时，物体Q刚好不从gh边穿出磁场，求区域efgh内所加磁场的磁感应强度大小B1；(3)当区域efgh内所加磁场的磁感应强度为B2＝2T时，要让物体Q从gh边穿出磁场且在磁场中运动的时间最长，求此最长时间t及对应的β值。答案(1)4.6×10－2N(2)1.25T(3)127π360s90°或143°解析(1)设P碰撞前、后的速度分别为v1和v1′，Q碰后的速度为v2。从a到b，对P，由动能定理有：－μm1gL＝12m1v21－12m1v20，代入数据得：v1＝7m/s，碰撞过程中，对P、Q组成的系统，由动量守恒定律有：m1v1＝m1v1′＋m2v2，设向左为正方向，由题意：v1′＝－1m/s，代入数据得：v2＝4m/s，在b点，对Q由牛顿第二定律：FN－m2g＝m2v22R，代入数据解得：FN＝4.6×10－2N。(2)设Q在c点的速度为vc从b到c点，由机械能守恒定律有：m2gR(1－cosθ)＋12m2v2c＝12m2v22，代入数据解得：vc＝2m/s进入磁场后，Q所受电场力为：F＝qE＝3×10－2N而：m2g＝3×10－2N因F＝m2g，故Q在磁场中做匀速圆周运动由牛顿第二定律：qvcB1＝m2v2cr1Q刚好不从gh边穿出磁场，由几何关系有：r1＝d＝1.6m代入数据解得：B1＝1.25T。(3)当所加磁场的磁感应强度为B2＝2T时：qvcB2＝m2v2cr2代入数据解得：r2＝1m要让物体Q从gh边穿出磁场且在磁场中运动的时间最长，则Q在磁场中运动的轨迹对应的圆心角最大，即当gh边或ef边与轨迹圆相切时(如图1、2所示)，设最大圆心角为α，由几何关系有：cos(180°－α)＝d－r2r2代入数据解得：α＝127°周期：T＝2πm2qB2故Q在磁场中运动的最长时间为：tm＝α360°×2πm2qB2＝127π360s对应的β角为：β1＝(α－90°)＋(90°－θ)＝90°，或β2＝180°－θ＝143°。