2020届高考数学总复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1-3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课

第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“_______”、“______”、“____”叫做逻辑联结词．(2)命题p∧q、p∨q、綈p的真假判定且或非pqp∧qp∨q綈p真真_____________真假________________假真_________________假假_________________真真假假真假假真真假假真2.量词及含有一个量词的命题的否定(1)全称量词和存在量词①全称量词有：所有的，任意一个，任给一个，用符号“____”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“_____”表示．②含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：________________．③含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：_______________．∀∃∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)(2)含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)_________________∃x0∈M，p(x0)_______________∃x0∈M，綈p(x0)∀x∈M，綈p(x)题组一常识题1．(教材改编)给出下列命题：①函数y＝lnx是减函数；②2是方程x＋2＝0的根又是方程x－2＝0的根；③28是5的倍数或是7的倍数．其中是“p或q”形式的命题的是________．(填序号)【解析】①不是由逻辑联结词连接形成的命题；②是由“且”连接而成的“p且q”形式的命题；③是“p或q”形式的命题．【答案】③2．(教材改编)p∨綈q是真命题，q是真命题，则p是________(填“真”或“假”)命题．【解析】因为q是真命题，所以綈q是假命题，又p∨綈q是真命题，所以p是真命题．【答案】真【解析】利用特称命题的否定是全称命题求解．【答案】∀x∈R，x2＋x－1≥03．已知命题p：∃x0∈R，x20＋x0－10，则命题綈p是________________________．4．(教材改编)命题“有的四边形是平行四边形”的否定是____________________．【解析】该命题为特称命题，即“存在四边形是平行四边形”，所以其否定是“所有的四边形都不是平行四边形”．【答案】所有的四边形都不是平行四边形题组二常错题◆索引：全称命题或特称命题的否定出错；不会利用真值表判断命题的真假；复合命题的否定中出现逻辑联结词错误；考查命题真假时忽视对参数的讨论．5．(教材改编)命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是______________．【解析】利用全称命题的否定是特称命题求解．【答案】存在一个奇数，它的立方不是奇数6．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数．则下列命题中为真命题的是________．(填序号)①綈p∨q；②p∧q；③綈p∧綈q；④綈p∨綈q.【解析】显然命题p为真命题，命题q为假命题，从而只有綈p∨綈q为真命题．【答案】④7．已知命题：若ab＝0，则a＝0或b＝0，则其否命题为__________________．【答案】若ab≠0，则a≠0且b≠08．已知命题“∀x∈R，ax2＋4x＋10”是假命题，则实数a的取值范围是________．【解析】∵命题“∀x∈R，ax2＋4x＋10”是假命题，∴命题“∃x0∈R，ax20＋4x0＋1≤0”是真命题，∴a≤0或a＞0，Δ＝16－4a≥0，解得a≤0或0a≤4.∴a≤4.【答案】(－∞，4]考点一含有逻辑联结词的命题的真假【例1】已知命题p：∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a2b2，则ab.下列命题为真命题的是()A．p∧qB．p∧(綈q)C．(綈p)∧qD．(綈p)∧(綈q)【解析】∵一元二次方程x2－x＋1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×1×10，∴x2－x＋10恒成立，∴p为真命题，綈p为假命题．∵当a＝－1，b＝－2时，(－1)2(－2)2，但－1－2，∴q为假命题，綈q为真命题．根据真值表可知p∧(綈q)为真命题，p∧q，(綈p)∧q，(綈p)∧(綈q)为假命题．故选B.【答案】B【反思归纳】跟踪训练1在一次驾照考试中，甲、乙两位学员各试驾一次．设命题p是“甲试驾成功”，q是“乙试驾成功”，则命题“至少有一位学员没有试驾成功”可表示为()A．(綈p)∨(綈q)B．p∨(綈q)C．(綈p)∧(綈q)D．p∨q【解析】命题“至少有一位学员没有试驾成功”包含以下三种情况：“甲、乙均没有试驾成功”“甲试驾成功，乙没有试驾成功”“乙试驾成功，甲没有试驾成功”．故选A.【答案】A考点二全称命题与特称命题角度解读：含有一个量词的否定在高考中经常出现，属容易题，常以选择题形式出现．角度1全称命题、特称命题的否定【例2】(1)命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是()A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)nB．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)nC．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)n0D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)n0(2)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是()A．∀x∈R，∃n∈N*，使得nx2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得nx2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得nx2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得nx2【解析】(1)因为全称命题的否定为特称命题，“且”的否定为“或”，所以否定形式为∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)n0.故选D.(2)“∀”的否定是“∃”，“∃”的否定是“∀”，“n≥x2”的否定是“nx2”，∴命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是“∃x∈R，∀n∈N*，使得nx2”．【答案】(1)D(2)D角度2全称命题、特称命题的真假判断【例3】(1)(2019·临沂调研)下列命题中，真命题是()A．存在x0∈R，sin2x02＋cos2x02＝12B．任意x∈(0，π)，sinxcosxC．任意x∈(0，＋∞)，x2＋1xD．存在x0∈R，x20＋x0＝－1(2)(2019·湖北百校联考)已知命题p：对任意x∈(0，＋∞)，log4xlog8x；命题q：存在x∈R，使得tanx＝1－3x，则下列命题为真命题的是()A．p∧qB．(綈p)∧(綈q)C．p∧(綈q)D．(綈p)∧q【解析】(1)对于A选项：∀x∈R，sin2x2＋cos2x2＝1，故A为假命题；对于B选项：存在x＝π6，sinx＝12，cosx＝32，sinxcosx，故B为假命题；对于C选项：x2＋1－x＝x－122＋340恒成立，C为真命题；对于D选项：x2＋x＋1＝x＋122＋340恒成立，不存在x0∈R，使x20＋x0＝－1成立，故D为假命题．(2)当x＝1时，log4x＝log8x，所以命题p是假命题；函数y＝tanx的图象与y＝1－3x的图象有无数个交点，所以存在x∈R，使得tanx＝1－3x，即命题q是真命题，故(綈p)∧q是真命题，选D.【答案】(1)C(2)D【反思归纳】跟踪训练2命题“∃x0∈(0，＋∞)，lnx0＝x0－1”的否定是()A．∃x0∈(0，＋∞)，lnx0≠x0－1B．∃x0∉(0，＋∞)，lnx0＝x0－1C．∀x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1D．∀x∉(0，＋∞)，lnx＝x－1【解析】因为原命题是特称命题，所以原命题的否定是全称命题．“∃x0∈(0，＋∞)，lnx0＝x0－1”的否定为“∀x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1”．故选C.【答案】C跟踪训练3(2019·益阳4月调研)已知命题p：“∀a≥0，a4＋a2≥0”，则命题綈p为()A．∀a≥0，a4＋a20B．∀a≥0，a4＋a2≤0C．∃a00，a40＋a200D．∃a0≥0，a40＋a200【解析】由已知，命题p为全称命题，其否定需由特称命题来完成，并将其结论否定，即綈p：∃a0≥0，a40＋a200.故选D.【答案】D考点三由命题的真假确定参数的取值范围【例4】(1)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝12x－m，若对∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是()A.14，＋∞B.12，＋∞C.－∞，14D.－∞，－12(2)给定命题p：对任意实数x都有ax2＋ax＋10成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围为________．【解析】(1)当x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝14－m，由f(x)min≥g(x)min，得0≥14－m，所以m≥14，故选A.(2)当p为真命题时，“对任意实数x都有ax2＋ax＋10成立”⇔a＝0或a0，Δ0，所以0≤a4.当q为真命题时，“关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根”⇔Δ＝1－4a≥0，所以a≤14.因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p，q一真一假．所以若p真q假，则0≤a4，且a14，所以14a4；若p假q真，则a0或a≥4，a≤14，即a0.故实数a的取值范围为(－∞，0)∪14，4.【答案】(1)A(2)(－∞，0)∪14，4【互动探究】若将本例(1)中“∃x2∈[1，2]”改为“∀x2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是什么？【解析】当x∈[1，2]时，g(x)max＝g(1)＝12－m，由f(x)min≥g(x)max，得0≥12－m，所以m≥12，即m的取值范围为12，＋∞.【规律方法】跟踪训练4命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若綈p是真命题，则实数a的取值范围是()A．(0，4]B．[0，4]C．(－∞，0]∪[4，＋∞)D．(－∞，0)∪(4，＋∞)【解析】因为命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，所以命题綈p：∃x0∈R，ax20＋ax0＋10，则a0或a0，Δ＝a2－4a0，解得a0或a4.【答案】D跟踪训练5已知命题p：“∀x∈[0，1]，a≥ex”，命题q：“∃x0∈R，x20＋4x0＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是()A．(4，＋∞)B．[1，4]C．[e，4]D．(－∞，－1)【解析】由题意知p与q均为真命题，由p为真，可知a≥e，由q为真，知x2＋4x＋a＝0有解，则Δ＝16－4a≥0，所以a≤4.综上可知e≤a≤4.【答案】C