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第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断______的陈述句叫做命题．其中判断为_____的语句叫做真命题，判断为______的语句叫做假命题．真假真假2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有______的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性___________．3．充分条件、必要条件与充要条件充分条件与必要条件的相关概念①如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；没有关系相同题组一常识题1．(教材改编)对于下列语句：①垂直于同一直线的两条直线必平行吗？②作△ABC∽△A′B′C′；③x2＋2x－30；④四边形的内角和是360°.其中是命题的是________．(填序号)【解析】①是疑问句，不是命题；②是祈使句，不是命题；③不能判断真假，不是命题；④是命题．【答案】④2．(教材改编)下面有4个命题：①集合N中最小的数是1；②若－a不属于N，则a属于N；③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2；④x2＋1＝2x的解可表示为{1，1}．其中真命题的个数为________．【解析】①为假命题，集合N中最小的数是0；②为假命题，如a＝12不满足；③为假命题，如a＝0，b＝1，a＋b＝1，比2小；④为假命题，所给集合中的元素不满足互异性．【答案】03．(教材改编)命题“若整数a不能被2整除，则a是奇数”的逆否命题是________．【解析】以原命题结论的否定作条件，原命题条件的否定作结论得出逆否命题．【答案】若整数a不是奇数，则a能被2整除4．(教材改编)已知集合M＝{x|1xa}，N＝{x|1x3}，则“a＝3”是“M⊆N”的________条件.【解析】由a＝3，可得M⊆N；反之由M⊆N可得a≤3.所以“a＝3”是“M⊆N”的充分不必要条件．【答案】充分不必要题组二常错题◆索引：命题的条件与结论不明确；含有大前提的命题的否命题易出现否定大前提的情况；真、假命题的推理考虑不全面；对充分必要条件判断错误．5．命题“若a2＋b2＝0，a，b∈R，则a＝b＝0”的逆否命题是________．【解析】“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”，又a＝b＝0的实质为a＝0且b＝0，故其否定为a≠0或b≠0.【答案】若a≠0或b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠06．已知命题“∀a，b∈R，若ab0，则a0”，则它的否命题是________．【解析】∀a，b∈R是大前提，在否命题中不变，又因为ab0，a0的否定分别为ab≤0，a≤0，所以原命题的否命题为“∀a，b∈R，若ab≤0，则a≤0”．【答案】∀a，b∈R，若ab≤0，则a≤0【答案】[－3，0]7．若命题“ax2－2ax－3≤0成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．【解析】由已知可得ax2－2ax－3≤0恒成立．当a＝0时，－3≤0恒成立；当a≠0时，得a＜0，Δ＝4a2＋12a≤0，解得－3≤a0.故－3≤a≤0.8．已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q的________条件．【解析】依题意有p⇒r，r⇒s，s⇒q，∴p⇒r⇒s⇒q.又∵rp，∴qp．故p是q的充分不必要条件．【答案】充分不必要考点一四种命题及其相互关系【例1】(1)(2018·沈阳监测一)命题“若xy＝0，则x＝0”的逆否命题是()A.若xy＝0，则x≠0B.若xy≠0，则x≠0C.若xy≠0，则y≠0D.若x≠0，则xy≠0(2)在原命题“设a，b，m∈R，若ab，则am2bm2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数共有()A．0B．1C．2D．4【解析】(1)逆否命题同时否定条件和结论，然后将条件和结论互换位置，故选D.(2)因为当m＝0时，am2＝bm2＝0，故原命题是假命题，其逆否命题也是假命题．逆命题为：若am2bm2，则ab.显然由am2bm2可知m20(若m2＝0，则am2＝bm2＝0，与已知am2bm2矛盾)，根据不等式的性质，两边同时乘以1m2，可得ab.即逆命题是正确的，因为逆命题和否命题互为逆否命题，所以否命题也是正确的．故原命题的逆命题和否命题是真命题，应选C.【答案】(1)D(2)C【反思归纳】跟踪训练1(2019·郑州模拟)给出以下四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤－1，则x2＋x＋q＝0有实根”的逆否命题；④若ab是正整数，则a，b都是正整数．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)【解析】①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，显然①为真命题；②不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ab是正整数，但a，b不一定都是正整数，例如a＝－1，b＝－3，故④为假命题．【答案】①③考点二充分必要条件的判定角度1定义法判断充分、必要条件【例2】设p：实数x，y满足x1且y1，q：实数x，y满足x＋y2，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】若x1且y1，则有x＋y2成立，所以p⇒q；反之由x＋y2不能得到x1且y1.所以p是q的充分不必要条件．【答案】A角度2等价转化法判断充分、必要条件【例3】给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】因为綈p是q的必要不充分条件，则q⇒綈p但綈pq，其逆否命题为p⇒綈q但綈qp，所以p是綈q的充分不必要条件．【答案】A【反思归纳】跟踪训练2(2019·合肥模拟)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】设命题a：“若p，则q”，可知命题a是祖暅原理的逆否命题，则a是真命题．故p是q的充分条件．设命题b：“若q，则p”，若A比B在某些等高处的截面积小一些，在另一些等高处的截面积大一些，且大的总量与小的总量相抵，则它们的体积还是一样的．所以命题b是假命题，即p不是q的必要条件．综上所述，p是q的充分不必要条件．故选A.【答案】A跟踪训练3设a，b∈R，则“log2a＞log2b”是“2a－b＞1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】log2a＞log2b⇔a＞b＞0，2a－b＞1⇔a＞b，所以“log2a＞log2b”是“2a－b＞1”的充分不必要条件．故选A.【答案】A考点三充分、必要条件的应用【例4】(1)(2019·惠州调研)命题“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是()A．a≥4B．a≤4C．a≥5D．a≤5(2)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．【解析】(1)命题“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题，可化为“∀x∈[1，2]，a≥x2”恒成立，即只需a≥(x2)max＝4，即“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件为a≥4，而要找的是一个充分不必要条件，即为集合{a|a≥4}的真子集，由选项可知C符合题意．(2)由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}，由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.则1－m≤1＋m，1－m≥－2，1＋m≤10，∴0≤m≤3.∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0，3]．【答案】(1)C(2)[0，3]【互动探究】1．本例中(2)条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．【解析】若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，∴1－m＝－2，1＋m＝10，∴m＝3，m＝9，即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．2．本例中(2)条件不变，若綈P是綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【解析】由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，∵綈P是綈S的必要不充分条件，∴P⇒S且SP.∴[－2，10][1－m，1＋m]．∴1－m≤－2，1＋m10或1－m－2，1＋m≥10∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞)．【反思归纳】