2020届高考数学总复习 第五章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 5-2 平面向量基本定理及坐标表

第2讲平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个__________向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝________________．不共线λ1e1＋λ2e2(2)基底：_____________的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝_____________________，a－b＝_______________________，不共线(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a≠0，b≠0.a，b共线⇔__________________________＝0.x1y2－x2y1【答案】②题组一常识题1．(教材改编)下列各组向量中，可以作为平面内一组基底的是________．(填序号)①e1＝(－2，4)，e2＝(1，－2)；②e1＝(4，3)，e2＝(－3，8)；③e1＝(2，3)，e2＝(－2，－3)；④e1＝(3，0)，e2＝(4，0)．【解析】对于①，e1＝－2e2；对于③，e1＝－e2；对于④，e1＝34e2；对于②，不存在λ∈R，使e1＝λe2，所以填②.【答案】(1，5)2．(教材改编)已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________．【解析】设D(x，y)，则由AB→＝DC→，得(4，1)＝(5－x，6－y)，即4＝5－x，1＝6－y，解得x＝1，y＝5，即D(1，5)．3．(教材改编)若向量a，b满足a＋b＝(－1，5)，a－b＝(5，－3)，则b＝________．【解析】由a＋b＝(－1，5)，a－b＝(5，－3)，得2b＝(－1，5)－(5，－3)＝(－6，8)，所以b＝(－3，4)．【答案】(－3，4)4．(教材改编)已知a＝(－1，2)，b＝(sinθ，cosθ)，且a∥b，则tanθ＝________．【解析】由a∥b得－cosθ＝2sinθ，所以tanθ＝sinθcosθ＝－12.【答案】－12题组二常错题◆索引：利用平面向量基本定理的前提是基底不能共线；对向量的夹角的概念理解出错；由点的坐标求向量坐标忽视起点与终点致误；两个向量共线的坐标表示公式掌握不牢．【解析】根据已知可知a∥b，a与c不共线，b与c不共线，所以能构成基底的组数为2.【答案】25．给出下列三个向量：a＝(－2，3)，b＝1，－32，c＝(－1，1)．从三个向量中任意取两个作为一组，能构成基底的组数为________．【解析】两向量的夹角要求两向量的起点是同一点．画图(图略)，易知a，b的夹角为120°.本题中a，b的夹角易错认为是60°.【答案】120°6．等边三角形ABC中，若AB→＝a，BC→＝b，则a，b的夹角为________．7．已知A(－5，8)，B(7，3)，则与向量AB→共线的单位向量为________．【解析】由已知得AB→＝(12，－5)，所以|AB→|＝13，因此与AB→共线的单位向量为±113AB→＝±1213，－513.本题在求AB→的坐标时易出现用A点坐标减去B点坐标的错误．【答案】±1213，－5138．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，若a∥b，则m＝__________.【解析】由a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m－2×(－2)＝0，即m＝－4.本题利用两向量平行的条件列方程时，易出现1×m＋2×(－2)＝0的错误．【答案】－4考点一平面向量基本定理及其应用【例1】(1)(2018·全国Ⅰ卷)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB→＝()A.34AB→－14AC→B.14AB→－34AC→C.34AB→＋14AC→D.14AB→＋34AC→(2)在△ABC中，点P是AB上一点，且CP→＝23CA→＋13CB→，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又CM→＝tCP→，则实数t的值为________．【解析】(1)法一：如图所示，EB→＝ED→＋DB→＝12AD→＋12CB→＝12×12(AB→＋AC→)＋12(AB→－AC→)＝34AB→－14AC→，故选A.法二：EB→＝AB→－AE→＝AB→－12AD→＝AB→－12×12(AB→＋AC→)＝34AB→－14AC→，故选A.(2)因为CP→＝23CA→＋13CB→，所以3CP→＝2CA→＋CB→，即2CP→－2CA→＝CB→－CP→，所以2AP→＝PB→.即P为AB的一个三等分点(靠近A点)，又因为A，M，Q三点共线，设AM→＝λAQ→.所以CM→＝AM→－AC→＝λAQ→－AC→＝λ12AB→＋12AC→－AC→＝λ2AB→＋λ－22AC→，又CM→＝tCP→＝t(AP→－AC→)＝t13AB→－AC→＝t3AB→－tAC→.故λ2＝t3，λ－22＝－t，解得t＝34，λ＝12.故t的值是34.【答案】(1)A(2)34【互动探究】1．在本例(2)中，试用向量AB→，AC→表示CP→.【解析】因为CP→＝23CA→＋13CB→，所以3CP→＝2CA→＋CB→，即2CP→－2CA→＝CB→－CP→，2AP→＝PB→，所以AP→＝13AB→，CP→＝AP→－AC→＝13AB→－AC→.2．在本例(2)中，试问点M在AQ的什么位置？【解析】由本例(2)的解析CM→＝λ2AB→＋λ－22AC→及λ＝12，CB→＝2CQ→知，CM→＝12λ(CB→－CA→)＋2－λ2CA→＝λ2CB→＋(1－λ)CA→＝λCQ→＋(1－λ)CA→＝CQ→＋CA→2.因此点M是AQ的中点．【反思归纳】跟踪训练1在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若AB→＝λAM→＋μAN→，则λ＋μ等于()A.15B.25C.35D.45【解析】因为AB→＝AN→＋NB→＝AN→＋CN→＝AN→＋(CA→＋AN→)＝2AN→＋CM→＋MA→＝2AN→－14AB→－AM→，所以AB→＝85AN→－45AM→，所以λ＝－45，μ＝85，所以λ＋μ＝45.【答案】D跟踪训练2如图，在△ABC中，设AB→＝a，AC→＝b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点恰为P，则AP→＝()A.12a＋12bB.13a＋23bC.27a＋47bD.47a＋27b【解析】如图，连接BP，则AP→＝AC→＋CP→＝b＋PR→，①AP→＝AB→＋BP→＝a＋RP→－RB→，②①＋②，得2AP→＝a＋b－RB→，③又RB→＝12QB→＝12(AB→－AQ→)＝12a－12AP→，④将④代入③，得2AP→＝a＋b－12a－12AP→，解得AP→＝27a＋47b.【答案】C【答案】A考点二平面向量的坐标运算【例2】设点A(2，0)，B(4，2)，若点P在线段AB上，且|AB→|＝2|AP→|，则P的坐标为()A．(3，1)B．(1，－1)C．(3，1)或(1，－1)D．无数多个【解析】设P(x，y)，由题意得AB→＝2AP→，而AB→＝(2，2)，AP→＝(x－2，y)，故(2，2)＝2(x－2，y)，解得x＝3，y＝1，所以P的坐标为(3，1)．故选A.【反思归纳】跟踪训练3向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则λμ＝________．【解析】以向量a和b的交点为坐标原点建立如图所示的坐标系，令每个小正方形的边长为1个单位，则A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)，所以a＝AO→＝(－1，1)，b＝OB→＝(6，2)，c＝BC→＝(－1，－3)．由c＝λa＋μb可得－1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ，解得λ＝－2，μ＝－12，所以λμ＝4.【答案】4考点三平面向量共线的坐标表示【例3】(2019·正定检测)已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线．(2)若AB→＝2a＋3b，BC→＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值．【解析】(1)∵a＝(1，0)，b＝(2，1)，∴ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)，∵ka－b与a＋2b共线，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，∴k＝－12.(2)AB→＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)．BC→＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m)．∵A，B，C三点共线，∴AB→∥BC→，∴8m－3(2m＋1)＝0，∴m＝32.【反思归纳】跟踪训练4平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)．(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n.(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.(3)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝5，求d的坐标．【解析】(1)由题意得(3，2)＝m(－1，2)＋n(4，1)，∴－m＋4n＝3，2m＋n＝2，解得m＝59，n＝89.(2)a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)，由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k＝－1613.(3)设d＝(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)，又a＋b＝(2，4)，|d－c|＝5，∴4（x－4）－2（y－1）＝0，（x－4）2＋（y－1）2＝5，解得x＝3，y＝－1或x＝5，y＝3.∴d的坐标为(3，－1)或(5，3)．