2020届高考数学总复习 第五章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 5-1 平面向量的概念及其线性运

第1讲平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有________又有_________的量叫做向量，向量的大小叫做向量的________________．(2)零向量：_____________的向量，其方向是任意的．方向大小长度(或模)长度为0(3)单位向量：长度等于______________的向量．(4)平行向量：方向________________的非零向量．平行向量又叫______________．规定：0与任一向量________．(5)相等向量：长度________且方向_______的向量．(6)相反向量：长度______且方向_______的向量．1个单位相同或相反共线向量平行相等相同相等相反2．向量的线性运算数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ0时，λa的方向与a的方向________；当λ0时，λa的方向与a的方向________；当λ＝0时，λa＝_____λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb相同相反03.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.题组一常识题1．(教材改编)化简AC→－BD→＋CD→－AB＋DE→＋EF→＋FA→＝________．【解析】AC→－BD→＋CD→－AB→＋DE→＋EF→＋FA→＝(AC→＋CD→＋DE→＋EF→＋FA→)－(AB→＋BD→)＝DA→.【答案】DA→2．(教材改编)如图，D，E，F分别是△ABC边BC，AC，AB的中点，给出下列结论：①EF→＝CD→；②AB→与DE→共线；③BD→与CD→是相反向量；④AE→＝12|AC→|.其中错误结论的序号是__________．【解析】根据向量的相关概念可知①②③中结论正确，④中结论错误．【答案】④3．(教材改编)M是△ABC边BC的中点，AB→＝a，AC→＝b，则AM→＝________．【解析】AB→＋BM→＝AM→，AC→＋CM→＝AM→，又CM→＝－BM→，相加得AM→＝12(AB→＋AC→)＝12(a＋b)．【答案】12(a＋b)【答案】24．(教材改编)向量e1与e2不共线，若a＝e1－e2与b＝－2e1＋λe2共线，则λ的值为________.【解析】因为e1与e2不共线，且a＝e1－e2与b＝－2e1＋λe2共线，所以存在μ∈R，使e1－e2＝μ(－2e1＋λe2)＝－2μe1＋μλe2，得1＝－2μ，－1＝μλ，所以λ＝2.题组二常错题◆索引：向量概念不清致误；向量相等的隐含条件挖掘不全致误；向量的减法忽视两向量的方向关系致误．5．给出下列说法：①AB→＋BA→＝2AB→；②已知向量a∥b，且|a||b|0，则向量a＋b的方向与向量a方向相同；③设a0为单位向量，则平面内向量a＝|a|·a0.其中正确说法的序号是________.【解析】对于①，由于AB→与BA→是相反向量，所以AB→＋BA→＝0，①中说法错误．对于②，由于a∥b且|a||b|0，所以当a，b同向时，a＋b的方向与a方向相同，当a，b反向时，因为|a||b|，所以a＋b的方向仍与a方向相同，②中说法正确．对于③，因为不知道a0的方向与a方向是否相同，所以a不一定等于|a|·a0，③中说法错误．【答案】②【答案】等腰梯形6．若四边形ABCD满足AD→＝12BC→且|AB→|＝|DC→|，则四边形ABCD的形状是________．【解析】AD→＝12BC→表示AD→∥BC→但|AD→|≠|BC→|，所以四边形ABCD是梯形，又|AB→|＝|DC→|，所以四边形ABCD是等腰梯形．此题易忽视|AD→|≠|BC→|这一隐含条件，从而得到四边形ABCD是菱形的错误结论．7．已知|a|＝2，|b|＝4，则|a－b|的取值范围是________．【解析】当a与b方向相同时，|a－b|＝2；当a与b方向相反时，|a－b|＝6；当a与b不共线时，2|a－b|6.所以|a－b|∈[2，6]．此题易忽视a与b方向相同与a与b方向相反两种情况．【答案】[2，6]考点一平面向量的概念【例1】给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB→＝DC→是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确命题的序号是()A．②③B．①②C．③④D．①④【解析】①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵AB→＝DC→，∴|AB→|＝|DC→|且AB→∥DC→.又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则AB→∥DC→且|AB→|＝|DC→|，因此，AB→＝DC→.③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.故选A.【答案】A【反思归纳】跟踪训练1给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误的命题的个数为()A．1B．2C．3D．4【解析】①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.④错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时，a与b可以是任意向量．故选C.【答案】C考点二平面向量的线性运算角度1平面向量的加减运算【例2】(1)(2019·永州模拟)如图，在△ABC中，N，P分别是AC，BN的中点，设BA→＝a，BC→＝b，则AP→等于()A.34a＋14bB．－34a＋14bC．－34a－14bD.34a－14b(2)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB→＋FC→等于()A.AD→B.12AD→C.BC→D.12BC→【解析】(1)AP→＝AB→＋BP→＝AB→＋12BN→＝－BA→＋12(BC→－NC→)＝－BA→＋12BC→－12AC→＝－BA→＋12BC→－14(AB→＋BC→)＝－34BA→＋14BC→＝－34a＋14b，故选B.(2)EB→＋FC→＝12(AB→＋CB→)＋12(AC→＋BC→)＝12(AB→＋AC→)＝AD→，故选A.【答案】(1)B(2)A角度2用已知向量表示未知向量【例3】(1)(2019·吉大附中第五次模拟)在梯形ABCD中，AB→＝3DC→，则BC→等于()A．－13AB→＋23AD→B．－23AB→＋43AD→C.23AB→－AD→D．－23AB→＋AD→(2)如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么EF→等于()A.12AB→－13AD→B.14AB→＋12AD→C.13AB→＋12DA→D.12AB→－23AD→【解析】(1)在线段AB上取点E，使BE＝DC，连接DE，则四边形BCDE为平行四边形，则BC→＝ED→＝AD→－AE→＝AD→－23AB→；故选D.(2)在△CEF中，有EF→＝EC→＋CF→.因为点E为DC的中点，所以EC→＝12DC→.因为点F为BC的一个三等分点，所以CF→＝23CB→.所以EF→＝12DC→＋23CB→＝12AB→＋23DA→＝12AB→－23AD→，故选D.【答案】(1)D(2)D角度3用线性运算求参数的值【例4】(1)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE→＝λ1AB→＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为__________．(2)(2019·郑州模拟)已知△ABC和点M满足MA→＋MB→＋MC→＝0，若存在实数m使得AB→＋AC→＝mAM→成立，则m等于()A．2B．3C．4D．5【解析】(1)DE→＝DB→＋BE→＝12AB→＋23BC→＝12AB→＋23(BA→＋AC→)＝－16AB→＋23AC→，所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.(2)由MA→＋MB→＋MC→＝0，易得M是△ABC的重心，且重心M分中线AE的比为AM∶ME＝2∶1，∴AB→＋AC→＝2AE→＝mAM→＝2m3AE→，∴2m3＝2，∴m＝3.【答案】(1)12(2)B【反思归纳】考点三共线向量定理的应用【例5】(2019·安徽皖中名校联盟联考)在△ABC中，点D是AC上一点，且AC→＝4AD→，P为BD上一点，向量AP→＝λAB→＋μAC→(λ＞0，μ＞0)，则4λ＋1μ的最小值为()A．16B．8C．4D．2【解析】由题意可知AP→＝λAB→＋μAD→，其中B，P，D三点共线，由三点共线的充分必要条件可得λ＋4μ＝1，则4λ＋1μ＝4λ＋1μ×(λ＋4μ)＝8＋16μλ＋λμ≥8＋216μλ×λμ＝16，当且仅当λ＝12，μ＝18时等号成立，即4λ＋1μ的最小值为16.故选A.【答案】A【反思归纳】跟踪训练2已知O，A，B是不共线的三点，且OP→＝mOA→＋nOB→(m，n∈R)．(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线．(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.【证明】(1)若m＋n＝1，则OP→＝mOA→＋(1－m)OB→＝OB→＋m(OA→－OB→)，∴OP→－OB→＝m(OA→－OB→)，即BP→＝mBA→，∴BP→与BA→共线．又∵BP→与BA→有公共点B，∴A，P，B三点共线．(2)若A，P，B三点共线，存在实数λ，使BP→＝λBA→，∴OP→－OB→＝λ(OA→－OB→)．又OP→＝mOA→＋nOB→.故有mOA→＋(n－1)OB→＝λOA→－λOB→，即(m－λ)OA→＋(n＋λ－1)OB→＝0.∵O，A，B不共线，∴OA→，OB→不共线，∴m－λ＝0，n＋λ－1＝0，∴m＋n＝1.