2020届高考数学总复习 第四章 三角函数、解三角形 4-6 正弦定理与余弦定理课件 文 新人教A版

第6讲正弦定理与余弦定理1．正弦定理和余弦定理2.三角形常用面积公式题组一常识题1．(教材改编)在△ABC中，B＝75°，C＝60°，c＝2，则最短边的边长等于________．【解析】易知A＝45°，角A最小，所以a边最短，由正弦定理得asin45°＝2sin60°，解得a＝236.【答案】2362．(教材改编)在△ABC中，已知a＝5，b＝23，C＝30°，则c＝________．【解析】由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝52＋(23)2－2×5×23cos30°＝7，所以c＝7.【答案】7【答案】45°3．(教材改编)在△ABC中，a2－c2＋b2＝2ab，则角C等于________．【解析】因为cosC＝a2＋b2－c22ab＝22，所以C＝45°.4．(教材改编)在锐角三角形ABC中，S△ABC＝5，a＝3，b＝4，则cosC＝________．【解析】因为S△ABC＝12absinC＝12×3×4sinC＝5，所以sinC＝56，因为△ABC是锐角三角形，所以cosC＝1－sin2C＝116.【答案】116题组二常错题◆索引：判定三角形中角(或边)的大小关系出错；利用正、余弦定理求解三角形的个数错误；忽视正、余弦定理、面积公式中边与角的三角函数的对应关系；判定三角形形状时等式两边不要轻易约去公因式．5．在△ABC中，若sinA＝sinB，则A，B的大小关系为________；若sinAsinB，则A，B的大小关系为________．【解析】根据正弦定理知，在△ABC中，sinA＝sinB⇔a＝b⇔A＝B，sinAsinB⇔ab⇔AB.【答案】A＝BAB【答案】45°6．在△ABC中，若A＝60°，a＝43，b＝42，则B等于________．【解析】由正弦定理知asinA＝bsinB，则sinB＝bsinAa＝42×3243＝22.又ab，所以AB，所以B为锐角，故B＝45°.【答案】17．在△ABC中，a＝2，asinA＝bcosC，则△ABC的外接圆半径r＝________．【解析】由正弦定理得asinA＝bsinB，又asinA＝bcosC，所以cosC＝sinB＝cosπ2－B，所以C＝π2－B，即B＋C＝π2，所以A＝π2，所以2r＝asinA＝2，得r＝1.8．在△ABC中，内角A，B，C满足sinAcosC－sinBcosC＝0，则△ABC的形状为________________________.【解析】由已知有cosC(sinA－sinB)＝0，所以有cosC＝0或sinA＝sinB，解得C＝90°或A＝B，即△ABC为直角三角形或等腰三角形．【答案】直角三角形或等腰三角形考点一正、余弦定理的简单应用【例1】(1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝45，cosC＝513，a＝1，则b＝__________．(2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝5，c＝2，cosA＝23，则b＝()A.2B.3C．2D．3【解析】(1)因为cosA＝45，cosC＝513，所以sinA＝35，sinC＝1213，从而sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝35×513＋45×1213＝6365.由正弦定理asinA＝bsinB，得b＝asinBsinA＝2113.(2)由余弦定理，得4＋b2－2×2bcosA＝5，整理得3b2－8b－3＝0，解得b＝3或b＝－13(舍去)，故选D.【答案】(1)2113(2)D【反思归纳】跟踪训练1(1)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则sin2AsinC＝________．(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，sinB＝12，C＝π6，则b＝________．【解析】(1)由正弦定理得sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝4∶5∶6，又由余弦定理知cosA＝b2＋c2－a22bc＝25＋36－162×5×6＝34，所以sin2AsinC＝2sinAcosAsinC＝2×sinAsinC×cosA＝2×46×34＝1.(2)∵sinB＝12，∴B＝π6或5π6.当B＝5π6时，有B＋C＝π，不符合，∴B＝π6＝C，∴bcosπ6＝a2＝32，∴b＝1.【答案】(1)1(2)1考点二判断三角形的形状【例2】设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【解析】依据题设条件的特点，由正弦定理：得sinBcosC＋cosBsinC＝sin2A，有sin(B＋C)＝sin2A，从而sin(B＋C)＝sinA＝sin2A，解得sinA＝1.∴A＝π2，故选B.【答案】B【互动探究】1．若将本例条件改为“2sinAcosB＝sinC”，试判断△ABC的形状．【解析】法一：由已知得2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，即sin(A－B)＝0，因为－πA－Bπ，所以A＝B，故△ABC为等腰三角形．法二：由正弦定理得2acosB＝c，再由余弦定理得2．若将本例条件改为“(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)”，试判断三角形的形状．2a·a2＋c2－b22ac＝c⇒a2＝b2⇒a＝b.故△ABC为等腰三角形．【解析】∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，∴b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]，∴2sinAcosB·b2＝2cosAsinB·a2，即a2cosAsinB＝b2sinAcosB.法一：由正弦定理知a＝2RsinA，b＝2RsinB，∴sin2AcosAsinB＝sin2BsinAcosB，又sinA·sinB≠0，∴sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B.在△ABC中，02A2π，02B2π，∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝π2.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．法二：由正弦定理、余弦定理得：a2bb2＋c2－a22bc＝b2aa2＋c2－b22ac，∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0.∴a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0，即a＝b或a2＋b2＝c2.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．【反思归纳】跟踪训练2在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小．(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．【解析】(1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－12，A＝23π.(2)对于已知2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC，结合正弦定理，有2sin2A＝(2sinB＋sinC)sinB＋(2sinC＋sinB)sinC，即sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC＝sin22π3＝34，又由sinB＋sinC＝1，得sin2B＋sin2C＋2sinBsinC＝1.所以sinB·sinC＝14.从而有sinB＝sinC＝12.因为0Bπ，0Cπ，0B＋Cπ.所以B＝C＝π6，所以△ABC是等腰的钝角三角形．考点三与面积有关的问题【例3】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c.(1)求C.(2)若c＝7，△ABC的面积为332，求△ABC的周长．【解析】(1)由已知及正弦定理得，2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC，2cosCsin(A＋B)＝sinC，故2sinCcosC＝sinC.可得cosC＝12，所以C＝π3.(2)由已知，12absinC＝332.又C＝π3，所以ab＝6.由已知及余弦定理得，a2＋b2－2abcosC＝7，故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.所以△ABC的周长为5＋7.【反思归纳】跟踪训练3在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A＝π4，b2－a2＝12c2.(1)求tanC的值．(2)若△ABC的面积为3，求b的值．【解析】(1)由b2－a2＝12c2及正弦定理得sin2B－12＝12sin2C，所以－cos2B＝sin2C.又由A＝π4，即B＋C＝34π，得－cos2B＝sin2C＝2sinCcosC，解得tanC＝2.(2)由tanC＝2，C∈(0，π)得sinC＝255，cosC＝55.又因为sinB＝sin(A＋C)＝sinπ4＋C，所以sinB＝31010.由正弦定理得c＝223b，又因为A＝π4，S△ABC＝12bcsinA＝3，所以bc＝62.故b＝3.