2020届高考数学总复习 第四章 三角函数、解三角形 4-5-2 简单的三角恒等变换课件 文 新人教

第2课时简单的三角恒等变换考点一三角函数式的化简【例1】已知α∈(0，π)，化简：（1＋sinα＋cosα）·cosα2－sinα22＋2cosα＝________．【解析】原式＝2cos2α2＋2sinα2cosα2·cosα2－sinα24cos2α2＝cosα2cos2α2－sin2α2cosα2＝cosα2cosαcosα2.因为0απ，所以0α2π2，所以cosα20，所以原式＝cosα.【答案】cosα【反思归纳】跟踪训练1化简：2cos2α－12tanπ4－αsin2π4＋α.【解析】法一：原式＝cos2α－sin2α2×1－tanα1＋tanαsinπ4cosα＋cosπ4sinα2＝（cos2α－sin2α）·（1＋tanα）（1－tanα）·（cosα＋sinα）2＝（cos2α－sin2α）1＋sinαcosα1－sinαcosα（cosα＋sinα）2＝1.法二：原式＝cos2α2tanπ4－αcos2π4－α＝cos2α2sinπ4－αcosπ4－α＝cos2αsinπ2－2α＝cos2αcos2α＝1.考点二三角函数的求值角度1给角求值与给值求值【例2】(1)(2019·太原质检)[2sin50°＋sin10°(1＋3·tan10°)]·2sin280°＝________．(2)已知cosπ4＋α＝35，17π12α7π4，则sin2α＋2sin2α1－tanα的值为________．【解析】(1)原式＝2sin50°＋sin10°·cos10°＋3sin10°cos10°·2sin80°＝2sin50°＋2sin10°·12cos10°＋32sin10°cos10°·2cos10°＝22[sin50°·cos10°＋sin10°·cos(60°－10°)]＝22sin(50°＋10°)＝22×32＝6.(2)sin2α＋2sin2α1－tanα＝2sinαcosα＋2sin2α1－sinαcosα＝2sinαcosα（cosα＋sinα）cosα－sinα＝sin2α1＋tanα1－tanα＝sin2α·tanπ4＋α.由17π12α7π4得5π3α＋π42π，又cosπ4＋α＝35，所以sinπ4＋α＝－45，tanπ4＋α＝－43.cosα＝cosπ4＋α－π4＝－210，sinα＝－7210，sin2α＝725.所以sin2α＋2sin2α1－tanα＝725×－43＝－2875.【答案】(1)6(2)－2875角度2给值求角【例3】(1)设α，β为钝角，且sinα＝55，cosβ＝－31010，则α＋β的值为()A.3π4B.5π4C.7π4D.5π4或7π4(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，则2α－β的值为________．【解析】(1)∵α，β为钝角，sinα＝55，cosβ＝－31010，∴cosα＝－255，sinβ＝1010，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝220.又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈3π2，2π，∴α＋β＝7π4.(2)∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tan（α－β）＋tanβ1－tan（α－β）tanβ＝12－171＋12×17＝130，∴0απ2.又∵tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×131－132＝340，∴02απ2，∴tan(2α－β)＝tan2α－tanβ1＋tan2αtanβ＝34＋171－34×17＝1.∵tanβ＝－170，∴π2βπ，－π2α－β0，∴2α－β＝－3π4.【答案】(1)C(2)－3π4【反思归纳】考点三三角恒等变换的综合应用【例4】(2019·青岛质检)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－23sinxcosx(x∈R)．(1)求f2π3的值．(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．【解析】(1)由sin2π3＝32，cos2π3＝－12，得f2π3＝322－－122－23×32×－12，所以f2π3＝2.(2)由cos2x＝cos2x－sin2x与sin2x＝2sinxcosx得f(x)＝－cos2x－3sin2x＝－2sin2x＋π6，所以f(x)的最小正周期是π.由正弦函数的性质得π2＋2kπ≤2x＋π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，解得π6＋kπ≤x≤2π3＋kπ，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间是π6＋kπ，2π3＋kπ(k∈Z)．【反思归纳】跟踪训练2已知函数f(x)＝cos2x＋cos2x－π6，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期．(2)求f(x)在－π3，π4上的最大值和最小值．【解析】(1)f(x)＝cos2x＋cos2x－π6＝1＋cos2x2＋1＋cos2x－π32＝34sin2x＋34cos2x＋1＝32sin2x＋π3＋1，则函数f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)函数f(x)在－π3，π12上单调递增，在π12，π4上单调递减．∵f－π3＝14，fπ12＝32＋1，fπ4＝1＋34，∴f(x)min＝14，f(x)max＝32＋1.