2020届高考数学总复习 第四章 三角函数、解三角形 4-5-1 三角恒等变换课件 文 新人教A版

第5讲三角恒等变换1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝______________________．(2)cos(α±β)＝________________________．(3)tan(α±β)＝.sinαcosβ±cosαsinβcosαcosβ∓sinαsinβ2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα.(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝______________＝______________．(3)tan2α＝.2cos2α－11－2sin2α3．有关公式的变形、逆用(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)．(2)cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2，sinαcosα＝sin2α2.(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝2sinα±π4.题组一常识题1．(教材改编)cos195°的值为________．【解析】cos195°＝cos(135°＋60°)＝cos135°cos60°－sin135°sin60°＝－22×12－22×32＝－2＋64.【答案】－2＋642．(教材改编)已知sinα＝－13，α∈－π2，0，则sinα－3π4的值是________．【解析】由题意，因为cosα＝1－sin2α＝1－19＝223，所以sinα－3π4＝sinαcos3π4－cosαsin3π4＝－13×－22－223×22＝2－46.【答案】2－463．(教材改编)计算sin55°cos10°－cos55°sin10°＝________．【解析】sin55°cos10°－cos55°sin10°＝sin(55°－10°)＝sin45°＝22.【答案】224．(教材改编)已知sinθ＝－35，θ为第三象限角，则sin2θ的值为________．【解析】因为sinθ＝－35，θ为第三象限角，所以cosθ＝－45，所以sin2θ＝2sinθcosθ＝2×－35×－45＝2425.【答案】2425题组二常错题◆索引：忽略角的范围；用错公式的结构；用错两角和与差的正切公式分子、分母上的符号；方法选择不当致误．5．已知tan5π4＋α＝17，α∈π2，π，则cosα的值是________．【解析】因为tan5π4＋α＝tanπ4＋α＝17，所以1＋tanα1－tanα＝17，得tanα＝－34，又α∈π2，π，所以cosα＝－4（－3）2＋42＝－45.【答案】－456．化简：12sinx－32cosx＝________．【解析】12sinx－32cosx＝cosπ3sinx－sinπ3cosx＝sinx－π3.【答案】sinx－π37．计算：1－tan15°1＋tan15°＝________．【解析】1－tan15°1＋tan15°＝tan45°－tan15°1＋tan45°tan15°＝tan(45°－15°)＝tan30°＝33.【答案】33【答案】28．若α＋β＝3π4，则[1＋tan(π－α)](1－tanβ)的值为________.【解析】因为α＋β＝3π4，所以tan(α＋β)＝－1，即tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－1，整理得(1－tanα)(1－tanβ)＝2，所以[1＋tan(π－α)](1－tanβ)＝(1－tanα)(1－tanβ)＝2.第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式考点一三角函数公式的基本应用【例1】(1)若cosπ4－α＝35，则sin2α＝()A.725B.15C．－15D．－725(2)(2019·桂林联考)已知cos2x－π2＝sin2x，x∈(0，π)则tanx－π4等于()A.13B．－13C．3D．－3【解析】(1)法一：cos2π4－α＝2cos2π4－α－1＝2×352－1＝－725，且cos2π4－α＝cosπ2－2α＝sin2α，故选D.法二：由cosπ4－α＝35，得22cosα＋22sinα＝35，即22(cosα＋sinα)＝35，两边平方得12(cos2α＋sin2α＋2cosαsinα)＝925，整理得2sinαcosα＝－725，即sin2α＝－725，故选D.(2)由cos2x－π2＝sin2x得sin2x＝sin2x，∵x∈(0，π)，∴sinx≠0，∴tanx＝2，∴tanx－π4＝tanx－11＋tanx＝13.【答案】(1)D(2)A【反思归纳】跟踪训练1若1＋tanα1－tanα＝2，则cos2α＝()A.45B．－45C.35D．－35【解析】依题意得1＋tanα＝2－2tanα，tanα＝13，cos2α＝cos2α－sin2α＝1－tan2α1＋tan2α＝1－1321＋132＝45，选A.【答案】A跟踪训练2(2019·吉林大学附中检测)若α∈π2，π，且3cos2α＝sinπ4－α，则sin2α的值为()A．－356B．－16C．－3518D．－1718【解析】∵3cos2α＝sinπ4－α，∴3(cos2α－sin2α)＝22(cosα－sinα)，易知sinα≠cosα，故cosα＋sinα＝26，1＋sin2α＝118，sin2α＝－1718，故选D.【答案】D考点二三角函数公式的逆用与变形应用【例2】(1)(2019·温州测试)已知sinx＋3cosx＝65，则cosπ6－x＝()A．－35B.35C．－45D.45(2)化简：2cos4x－2cos2x＋122tanπ4－xsin2x＋π4＝________．(3)若锐角α，β满足(1＋3tanα)(1＋3tanβ)＝4，则α＋β＝________．【解析】(1)∵sinx＋3cosx＝212sinx＋32cosx＝2sinπ6sinx＋cosπ6cosx＝2cosπ6－x＝65，∴cosπ6－x＝35.(2)原式＝2cos2x()cos2x－1＋122tanπ4－x·cos2π4－x＝－4cos2xsin2x＋14cosπ4－xsinπ4－x＝1－sin22x2sinπ2－2x＝cos22x2cos2x＝12cos2x.(3)∵(1＋3tanα)(1＋3tanβ)＝4，∴1＋3(tanα＋tanβ)＋3tanα·tanβ＝4，即3(tanα＋tanβ)＝3－3tanα·tanβ＝3(1－tanαtanβ)，即tanα＋tanβ＝3(1－tanαtanβ)．∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝3.又∵α，β为锐角，∴α＋β＝π3.【答案】(1)B(2)12cos2x(3)π3【反思归纳】跟踪训练3(2019·河南六市联考)已知cosα－π6＋sinα＝435，则sinα＋7π6的值是()A．－235B.235C.45D．－45【解析】由cosα－π6＋sinα＝435，可得32cosα＋12sinα＋sinα＝435，即32sinα＋32cosα＝435，∴3sinα＋π6＝435，sinα＋π6＝45，∴sinα＋7π6＝－sinα＋π6＝－45.【答案】D跟踪训练4化简sin2α－π6＋sin2α＋π6－sin2α的结果是________．【解析】原式＝1－cos2α－π32＋1－cos2α＋π32－sin2α＝1－12cos2α－π3＋cos2α＋π3－sin2α＝1－cos2α·cosπ3－sin2α＝1－cos2α2－1－cos2α2＝12.【答案】12考点三角的变换【例3】已知α，β均为锐角，且sinα＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值．(2)求cosβ的值．【解析】(1)∵α，β∈0，π2，从而－π2α－βπ2.又∵tan(α－β)＝－130，∴－π2α－β0.∴sin(α－β)＝－1010.(2)由(1)可得cos(α－β)＝31010.∵α为锐角，且sinα＝35，∴cosα＝45.∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝45×31010＋35×－1010＝91050.【互动探究】本例中若把sinα＝35改为tanα＝34，其余条件不变，求tanβ的值．【解析】tanβ＝tan[α－(α－β)]＝tanα－tan（α－β）1＋tanαtan（α－β）＝34＋131－34×13＝139.【反思归纳】跟踪训练5已知tan(α＋β)＝1，tanα－π3＝13，则tanβ＋π3的值为()A.23B.12C.34D.45【解析】tanβ＋π3＝tan（α＋β）－α－π3＝tan（α＋β）－tanα－π31＋tan（α＋β）tanα－π3＝1－131＋1×13＝12.【答案】B跟踪训练6(2019·福建师大附中检测)若sinπ3－α＝14，则cosπ3＋2α＝()A．－78B．－14C.14D.78【解析】cosπ3＋2α＝cosπ－2π3－2α＝－cos2π3－2α＝－1－2sin2π3－α＝－78.【答案】A