2020届高考数学总复习 第十章 概率 10-3 几何概型课件 文 新人教A版

第3讲几何概型1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的___________________成比例，与区域的形状，位置无关，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．长度(面积或体积)2．几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有______________．(2)等可能性：每个试验结果的发生具有___________．无限多个等可能性题组一常识题1．(教材改编)在长为6m的木棒AB上任取一点P，则点P到木棒两端点的距离都大于2m的概率是________．【解析】所求概率为26＝13.【答案】132．(教材改编)为了测算如图所示阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分，据此，可估计阴影部分的面积是________．【解析】正方形的面积为36，则阴影部分的面积约为200800×36＝9.【答案】9题组二常错题◆索引：易混淆几何概型与古典概型；几何概型的测度选择不正确．3．若正方形ABCD的边长为2，E为边上任意一点，则AE的长度大于5的概率为__________．【解析】如图所示，当M，N分别是BC，DC的中点时，|AM|＝|AN|＝5，当点E在折线段MCN上(不包括M，N点)时，AE的长度大于5，所以AE的长度大于5的概率为1＋12×4＝14.【答案】144．(2019·河北武邑中学月考)如图所示，在一个棱长为2的无顶正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆与鱼缸的顶面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的底面上，现在向鱼缸内随机投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥形容器外面的鱼吃到”的概率是__________．【解析】“鱼食能被鱼缸内在圆锥形容器外面的鱼吃到”的概率P＝4－π4＝1－π4.【答案】1－π4考点一与长度有关的几何概型【例1】(1)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()A.710B.58C.38D.310(2)记函数f(x)＝6＋x－x2的定义域为D.在区间[－4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是__________．【解析】(1)行人在红灯亮起的25秒内到达该路口，即满足至少需要等待15秒才出现绿灯，根据几何概型的概率公式知所求事件的概率P＝2540＝58.故选B.(2)由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，∴D＝[－2，3]．如图，区间[－4，5]的长度为9，定义域D的长度为5，∴P＝59.【答案】(1)B(2)59【反思归纳】跟踪训练1(1)(2019·辽宁模拟)在长为12cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为()A.16B.13C.23D.45(2)某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过3分钟的概率是__________．【解析】(1)设AC＝xcm(0x12)，则CB＝(12－x)cm，则矩形面积S＝x(12－x)＝12x－x232，即(x－8)(x－4)0，解得0x4或8x12，在数轴上表示为由几何概型概率公式，得概率为812＝23.故选C.(2)本题可以看成向区间[0，5]内均匀投点，设A＝{某乘客候车时间不超过3分钟}，则P(A)＝区间[2，5]的长度区间[0，5]的长度＝35.【答案】(1)C(2)35考点二与面积有关的几何概型角度1与平面图形面积有关的问题【例2】(2019·济南模拟)设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为()A.34＋12πB.12＋1πC.14－12πD.12－1π【解析】∵|z|≤1，∴(x－1)2＋y2≤1，表示以M(1，0)为圆心，1为半径的圆及其内部，该圆的面积为π.易知直线y＝x与圆(x－1)2＋y2＝1相交于O(0，0)，A(1，1)两点，作图如下：∵∠OMA＝90°，∴S阴影＝π4－12×1×1＝π4－12.故所求的概率P＝S阴影S⊙M＝π4－12π＝14－12π.【答案】C角度2与线性规划交汇的问题【例3】在区间[0，4]上随机取两个实数x，y，使得x＋2y≤8的概率为()A.14B.316C.619D.34【解析】如图所示，0≤x≤4，0≤y≤4表示的平面区域为正方形OBCD及其内部，x＋2y≤8(x，y∈[0，4])表示的平面区域为图中阴影部分，所以所求概率P＝4×4－12×4×24×4＝34.故选D.【答案】D角度3随机模拟估算【例4】如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为依据估计椭圆的面积为()【答案】CA．7.68B．8.68C．16.32D．17.32【解析】由随机模拟的思想方法，可得黄豆落在椭圆内的概率为300－96300＝0.68.由几何概型的概率计算公式，可得S椭圆S矩形＝0.68，而S矩形＝6×4＝24，则S椭圆＝0.68×24＝16.32.【反思归纳】跟踪训练2如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()A.14B.π8C.12D.π4【解析】设正方形的边长为2，则正方形的面积为4，正方形内切圆的面积为π，根据对称性可知，黑色部分的面积是正方形内切圆的面积的一半，所以黑色部分的面积为π2.根据几何概型的概率公式，得所求概率P＝π24＝π8.故选B.【答案】B跟踪训练3如图，在边长为3的正方形内有区域A(阴影部分所示)，张明同学用随机模拟的方法求区域A的面积．若每次在正方形内随机产生10000个点，并记录落在区域A内的点的个数．经过多次试验，计算出落在区域A内的点的个数的平均值为6600，则区域A的面积约为()A．5B．6C．7D．8【解析】由题意，∵在正方形内随机产生10000个点，落在区域A内的点的个数的平均值为6600，∴概率P＝660010000＝3350，∵边长为3的正方形的面积为9，∴区域A的面积的估计值为3350×9≈6，故选B.【答案】B考点三与体积有关的几何概型【例5】(2017·海南东方期中)已知在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA＝AB＝2，现在该四棱锥内部或表面任取一点O，则四棱锥O­ABCD的体积不小于23的概率为________．【解析】当四棱锥O­ABCD的体积为23时，设O到平面ABCD的距离为h，则有13×22×h＝23，解得h＝12.如图所示，在四棱锥P­ABCD内作平面EFGH平行于底面ABCD，且平面EFGH与底面ABCD的距离为12.因为PA⊥底面ABCD，且PA＝2，所以PHPA＝34，又四棱锥P­ABCD与四棱锥P­EFGH相似，所以四棱锥O­ABCD的体积不小于23的概率为P＝V四棱锥P­EFGHV四棱锥P­ABCD＝PHPA3＝343＝2764.【答案】2764【反思归纳】跟踪训练4(2019·烟台模拟)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．【解析】由题意，在正方体ABCD­A1B1C1D1内任取一点，满足几何概型，记“点P到点O的距离大于1”为事件A，则事件A发生时，点P位于以O为球心，以1为半径的半球外．又V正方体ABCD­A1B1C1D1＝23＝8，V半球＝12·43π·13＝23π，∴所求事件概率P(A)＝8－23π8＝1－π12.【答案】1－π12