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第2讲古典概型1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是_______的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成__________的和．互斥基本事件2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)试验中所有可能出现的基本事件_____________．(2)每个基本事件出现的可能性_______．只有有限个相等3．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝mn.题组一常识题1．(教材改编)一个口袋内装有2个白球和3个黑球，则先摸出1个白球放回后，再摸出1个白球的概率是________．【解析】先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率，实质上就是第二次摸到白球的概率，因为袋内装有2个白球和3个黑球，所以所求概率为25.【答案】252．(教材改编)从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为偶数的概率是________．【解析】总的基本事件有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10个．两个不同的数之和为偶数包含的基本事件有(1，3)，(1，5)，(2，4)，(3，5)，共4个，∴所求概率P＝410＝25.【答案】253．(教材改编)从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中，每次任取一件．若每次取后放回，连续取两次，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率为________．【解析】有放回地连续取出两件，其所有可能的结果为(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)，共9个基本事件．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用B表示事件“恰有一件次品”，则B＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}，所以事件B由4个基本事件组成，所以P(B)＝49.【答案】49题组二常错题◆索引：基本事件的个数错误；古典概型概率公式理解错误．4．抛掷两颗质地均匀的骰子，则向上的点数之积为6的概率等于________．【解析】基本事件共36个，符合题意的基本事件有(1，6)，(6，1)，(2，3)，(3，2)，共4个，故所求概率为19.【答案】195．有一个正方体的玩具，六个面分别标注了数字1，2，3，4，5，6.甲、乙两位学生进行如下游戏：甲先抛掷一次，记下正方体朝上的数字为a，再由乙抛掷一次，记下正方体朝上的数字为b.若|a－b|≤1就称甲、乙两人“默契配合”，则甲、乙两人“默契配合”的概率为____________．【解析】由题意得总事件数为6×6＝36，而满足|a－b|≤1的事件数为2＋3＋3＋3＋3＋2＝16，因此所求概率为1636＝49.【答案】496．小王同学有三支款式相同、颜色不同的圆珠笔，每支圆珠笔都有一个与之同颜色的笔帽，平时小王都将同颜色的圆珠笔和笔帽套在一起，但偶尔会将圆珠笔和笔帽搭配成不同色．若将圆珠笔和笔帽随机套在一起，则小王将两支圆珠笔和笔帽的颜色混搭的概率是__________．【解析】设三支款式相同、颜色不同的圆珠笔分别为A，B，C，与之相同颜色的笔帽分别为a，b，c.将笔和笔帽随机套在一起，基本事件有(Aa，Bb，Cc)，(Aa，Bc，Cb)，(Ab，Ba，Cc)，(Ab，Bc，Ca)，(Ac，Bb，Ca)，(Ac，Ba，Cb)，共6个，其中满足条件的有3个．故所求事件的概率P＝36＝12.【答案】12考点一简单的古典概型问题【例1】(1)现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为()A.13B.23C.12D.34(2)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是()A.815B.18C.115D.130【解析】(1)设两道题分别为A，B题，所以抽取情况共有：AAA，AAB，ABA，ABB，BAA，BAB，BBA，BBB，其中第1个，第2个分别是两个女教师抽取的题目，第3个表示男教师抽取的题目，一共有8种；其中满足恰有一男一女抽到同一题目的事件有：ABA，ABB，BAA，BAB，共4种．故所求事件的概率为12.故选C.(2)由题意可知，共15种可能性，而只有1种是正确的．∴输入一次密码能够成功开机的概率为115.【答案】(1)C(2)C【反思归纳】跟踪训练1从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()A.110B.15C.310D.25【解析】依题意，记两次取得卡片上的数字依次为a，b，则一共有25个不同的数组(a，b)，其中满足ab的数组共有10个，分别为(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，因此所求的概率为1025＝25，选D.【答案】D跟踪训练2从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率是__________．【解析】由题意得，a，b有(2，3)，(2，8)，(2，9)，(3，8)，(3，9)，(8，9)，(3，2)，(8，2)，(9，2)，(8，3)，(9，3)，(9，8)，共12种取法．若满足logab为整数，则仅有a＝2，b＝8和a＝3，b＝9两种情况，∴logab为整数的概率为212＝16.【答案】16考点二较复杂的古典概型问题【例2】某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率．(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．【解析】(1)由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15个．所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3个．则所求事件的概率为：P＝315＝15.(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9个．包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个，则所求事件的概率为：P＝29.【互动探究】本例条件不变，将(1)改为：从6个国家中任取2个，求这两个国家有欧洲国家的概率．【解析】所选“两个国家有欧洲国家”的对立事件是“没有欧洲国家”，即都是亚洲国家，其概率为15，故有欧洲国家的概率为1－15＝45.【反思归纳】跟踪训练3某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动，参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．记两次记录的数分别为x，y，奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．(1)求小亮获得玩具的概率．(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．【解析】用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应．因为S中元素的个数是4×4＝16，所以基本事件总数n＝16.(1)记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的基本事件数共5个，即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)，所以P(A)＝516，即小亮获得玩具的概率为516.(2)记“xy≥8”为事件B，“3xy8”为事件C，则事件B包含的基本事件数共6个，即(2，4)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，所以P(B)＝616＝38，事件C包含的基本事件数共5个，即(1，4)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，所以P(C)＝516，因为38516，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．