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第4讲变量间的相关关系、统计案例1．两个变量的线性相关(1)正相关在散点图中，点散布在从__________到________的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关．(2)负相关在散点图中，点散布在从_________到_________的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关．左下角右上角左上角右下角(3)线性相关关系、回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在__________________，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．2．回归方程(1)最小二乘法求回归直线，使得样本数据的点到它的__________________的方法叫做最小二乘法．一条直线附近距离的平方和最小(2)回归方程方程y^＝b^x＋a^是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中a^，b^是待定参数．3．回归分析(1)定义：对具有________________的两个变量进行统计分析的一种常用方法．(2)样本点的中心对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中(x，y)称为样本点的中心．相关关系(3)相关系数当r＞0时，表明两个变量_________________；当r＜0时，表明两个变量_____________．r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性_______．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间_______________________．通常|r|大于________时，认为两个变量有很强的线性相关性．正相关负相关越强几乎不存在线性相关关系0.754．独立性检验(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的___________，像这类变量称为分类变量．(2)列联表：列出两个分类变量的__________，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为不同类别频数表2×2列联表y1y2总计x1aba＋bx2cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋d(3)独立性检验利用随机变量_______来判断“两个分类变量_______”的方法称为独立性检验．K2有关系题组一常识题1．(教材改编)已知具有线性相关关系的两个变量x，y之间的一组数据如下：x01234y2.24.34.54.8t【答案】6.7若回归方程是y^＝0.95x＋2.6，则t＝________．【解析】∵x＝0＋1＋2＋3＋45＝2，y＝2.2＋4.3＋4.5＋4.8＋t5＝15.8＋t5，∴15.8＋t5＝0.95×2＋2.6，得t＝6.7.2．(教材改编)利用独立性检验来判断两个分类变量X和Y是否有关系，通过查阅下表来确定“X和Y有关系”的可信度．为了调查用电脑时间与视力下降是否有关系，现从某地居民中抽取100位居民进行调查．经过计算得K2≈3.855，那么就有__________%的把握认为用电脑时间与视力下降有关系.P(K2≥k0)0.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.828【解析】根据表格发现3.8553.841，3.841对应的是0.05，所以根据独立性检验原理可知有95%的把握认为用电脑时间与视力下降有关系．【答案】95题组二常错题◆索引：易混淆相关关系与函数关系；误认为样本点必在回归直线上；利用回归方程分析问题时，误认为所得的数据是准确值；在独立性检验中，有关系并不等于绝对发生．3．在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图，下列结论中正确的是____________．(填序号)①人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20%；②人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%；③人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20%；④人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20%.【解析】散点图呈现上升趋势，故人体脂肪含量与年龄正相关．因为中间两个数据介于15%到20%之间，所以脂肪含量的中位数小于20%.【答案】②4．设某大学女生的体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)用最小二乘法得到的线性回归方程为y^＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是________．(填序号)①y与x呈正相关；②回归直线过样本点的中心(x，y)；③若该大学某女生的身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg；④若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg.【解析】由于线性回归方程中x的系数为0.85，因此y与x呈正相关，故①中结论正确．回归直线必过样本点的中心(x－，y－)，因此②中结论正确．由线性回归方程中系数的意义知，身高每增加1cm，体重约增加0.85kg，故③中结论正确．当某女生的身高为170cm时，其体重的估计值是58.79kg，58.79kg不是具体值，因此④中结论不正确．【答案】④5．对长期吸烟与患肺癌这两个分类变量的计算中，得出K2的值大于3.841，且查表可知P(K2≥3.841)≈0.05，则下列说法正确的是________．(填序号)①我们有95%的把握认为“长期吸烟与患肺癌有关系”，那么在100个长期吸烟的人中必有95人患肺癌；②从独立性检验的原理可知有95%的把握认为“长期吸烟与患肺癌有关系”，即某一个人如果长期吸烟，那么他有95%的可能患肺癌；③从独立性检验的原理可知有超过95%的把握认为“长期吸烟与患肺癌有关系”，是指有不超过5%的可能性使得推断出现错误；④以上三种说法都不正确．【解析】对于①，我们有95%的把握认为“长期吸烟与患肺癌有关系”，不能代表在100个长期吸烟的人中必有95人患肺癌，①错误；对于②，不能确定某一个人如果长期吸烟，那么他有95%的可能患肺癌，②错误；对于③，我们有95%的把握认为“长期吸烟与患肺癌有关系”，即指有不超过5%的可能性使得推断出现错误，③正确；易知④错误．【答案】③考点一相关关系的判断【例1】(1)已知变量x和y满足关系y^＝－0.1x＋1，变量y与z正相关，下列结论中正确的是()A．x与y正相关，x与z负相关B．x与y正相关，x与z正相关C．x与y负相关，x与z负相关D．x与y负相关，x与z正相关(2)对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是()A．r2＜r4＜0＜r3＜r1B．r4＜r2＜0＜r1＜r3C．r4＜r2＜0＜r3＜r1D．r2＜r4＜0＜r1＜r3【解析】(1)因为y^＝－0.1x＋1的斜率小于0，故x与y负相关．因为y与z正相关，可设z^＝b^y＋a^，b^0，则z^＝b^y＋a^＝－0.1b^x＋b^＋a^，故x与z负相关．(2)易知题中图(1)与图(3)是正相关，图(2)与图(4)是负相关，且图(1)与图(2)中的样本点集中分布在一条直线附近，则r2＜r4＜0＜r3＜r1.【答案】(1)C(2)A【反思归纳】跟踪训练1下列四个散点图中，变量x与y之间具有负的线性相关关系的是()【解析】观察散点图可知，只有D选项的散点图表示的是变量x与y之间具有负的线性相关关系．【答案】D跟踪训练24名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得线性回归方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且y^＝2.347x－6.423；②y与x负相关且y^＝－3.476x＋5.648；③y与x正相关且y^＝5.437x＋8.493；④y与x正相关且y^＝－4.326x－4.578.其中一定不正确的结论的序号是()A．①②B．②③C．③④D．①④【解析】由线性回归方程y^＝b^x＋a^知当b^＞0时，y与x正相关，当b^＜0时，y与x负相关，∴①④一定错误．【答案】D考点二回归分析【例2】如图是我国2012年至2018年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．注：年份代码1～7分别对应年份2012～2018.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明．(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2020年我国生活垃圾无害化处理量．【解析】【反思归纳】跟踪训练3(2019·唐山模拟)为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖规律，得如下实验数据，计算得回归直线方程为y^＝0.85x－0.25.由以上信息，得到下表中c的值为________.天数x/天34567繁殖个数y/千个2.5344.5c【解析】x＝3＋4＋5＋6＋75＝5，y＝2.5＋3＋4＋4.5＋c5＝14＋c5，代入回归直线方程中得14＋c5＝0.85×5－0.25，解得c＝6.【答案】6跟踪训练4(2019·邯郸质检)已知某企业近3年的前7个月的月利润(单位：百万元)如下面的折线图所示：(1)试问这3年的前7个月中哪个月的平均利润最高？(2)通过计算判断这3年的前7个月的总利润的发展趋势．(3)试以第3年的前4个月的数据(如下表)，用线性回归的拟合模式估测第3年8月份的利润.月份x1234利润y(单位：百万元)4466【解析】(1)由折线图可知5月和6月的平均利润最高．(2)第1年前7个月的总利润为1＋2＋3＋5＋6＋7＋4＝28(百万元)，第2年前7个月的总利润为2＋5＋5＋4＋5＋5＋5＝31(百万元)，第3年前7个月的总利润为4＋4＋6＋6＋7＋6＋8＝41(百万元)，∴这3年的前7个月的总利润呈上升趋势．(3)∵x＝2.5，y＝5，12＋22＋32＋42＝30，1×4＋2×4＋3×6＋4×6＝54，∴b^＝54－4×2.5×530－4×2.52＝0.8，∴a^＝5－2.5×0.8＝3，∴y^＝0.8x＋3，当x＝8时，y^＝0.8×8＋3＝9.4(百万元)，∴估计第3年8月份的利润为940万元．考点三独立性检验【例3】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率．(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50kg箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)附：P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【解析】(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”，由题意知P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C)，旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，故P(B)的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66，故P(C)的估计值为0.66，因此，事件A的概率估计值为0.62×0.66＝0.4092.(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量＜50kg箱产量≥50kg旧养殖法6238新养殖法3466K2＝200×（62×66－34×38）2100×100×96×104≈15.705由于15.7056.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.340.5，箱产量低于55kg的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.680.5，故新养殖法箱产量的中位数的估计值为50＋0.5－0.340.068≈52.35(kg)．【反思归