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第3讲用样本估计总体1．常用统计图表(1)频率分布表的画法：(3)频率分布折线图和总体密度曲线①频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的________，就得到频率分布折线图．②总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时____________增加，_______减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．中点所分的组数组距(4)茎叶图的画法：第一步：将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分；第二步：将各个数据的茎按________次序排成一列；第三步：将各个数据的叶依次写在其茎的右(左)侧．2．样本的数字特征(1)众数、中位数、平均数大小数字特征定义与求法优点与缺点众数一组数据中出现次数最多的数通常用于描述出现次数最多的数，显然它对其他数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征中位数把一组数据按__________排列，处在__________位置的一个数据(或两个数据的平均数)中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点大小顺序最中间题组一常识题1．(教材改编)2000辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速(单位：km/h)在[50，60)的汽车大约有________辆．【解析】依据频率分布直方图可以看出，时速在[50，60)的汽车大约有0.03×10×2000＝600(辆)．【答案】6002．(教材改编)某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图如图所示，从茎叶图的分布情况看，________(填“甲”或“乙”)运动员的发挥更稳定.【解析】从茎叶图可以看出，乙的数据分布更加集中，所以乙运动员的发挥更稳定．【答案】乙题组二常错题◆索引：频率分布直方图与茎叶图的识图不清；对方差、平均数的统计意义的认识有误．3．(2019·南昌二模)某人到甲、乙两市各7个小区调查空置房情况，将调查得到的小区空置房的套数绘成了如图所示的茎叶图，则调查中甲市空置房套数的中位数与乙市空置房套数的中位数之差为________．【解析】由茎叶图可以看出甲、乙两市的空置房的套数的中位数分别是79，76，因此79－76＝3.【答案】34．某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出(单位：元)在[50，60)内的学生有30人，则n的值为________．【解析】根据频率分布直方图的面积和为1，可得[50，60)的频率为1－10×(0.01＋0.024＋0.036)＝0.3，所以30n＝0.3，得n＝100.【答案】1005．(2019·衡水中学六调)甲、乙、丙三人投掷飞镖，他们的成绩(环数)的频数条形统计图如图所示，则甲、乙、丙三人训练成绩的方差s2甲，s2乙，s2丙的大小关系是________.【解析】方差表示数据的稳定程度，越稳定方差越小，甲、乙、丙三人的数据中，丙集中在6环，乙平均分散，甲分散在两边，所以丙最稳定，方差最小，甲最不稳定，方差最大，所以s2丙s2乙s2甲.【答案】s2丙s2乙s2甲考点一频率分布直方图的应用【例1】某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()A．56B．60C．120D．140【解析】由频率分布直方图知这200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为1－(0.02＋0.10)×2.5＝0.7，则这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200×0.7＝140.故选D.【答案】D【反思归纳】跟踪训练1为了解某校高三学生联考的数学成绩情况，从该校参加联考学生的数学成绩中抽取一个样本，并分成五组，绘成如图所示的频率分布直方图，已知第一组至第五组的频率之比为1∶2∶8∶6∶3，第五组的频数为6，则样本容量为__________．【解析】因为第一组至第五组的频率之比为1∶2∶8∶6∶3，所以可设第一组至第五组的频率分别为k，2k，8k，6k，3k，又频率之和为1，所以k＋2k＋8k＋6k＋3k＝1，解得k＝120＝0.05，所以第五组的频率为3×0.05＝0.15，又第五组的频数为6，所以样本容量为60.15＝40.【答案】40考点二茎叶图的应用【例2】如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为()A．3，5B．5，5C．3，7D．5，7【解析】甲组数据的中位数为65，由甲、乙两组数据的中位数相等得y＝5.又甲、乙两组数据的平均值相等，∴15×(56＋65＋62＋74＋70＋x)＝15×(59＋61＋67＋65＋78)，∴x＝3.故选A.【答案】A【反思归纳】跟踪训练2(2019·长沙模拟)下面的茎叶图是某班学生在一次数学测试时的成绩：根据茎叶图，得出该班男、女生数学成绩的四个统计结论，其中错误的一项是()A．15名女生成绩的平均分为78B．17名男生成绩的平均分为77C．女生成绩和男生成绩的中位数分别为82，80D．男生中的高分段和低分段均比女生多，相比较男生两极分化比较严重【解析】15名女生成绩的平均分为115×(90＋93＋80＋80＋82＋82＋83＋83＋85＋70＋71＋73＋75＋66＋57)＝78，A正确；17名男生成绩的平均分为117×(93＋93＋96＋80＋82＋83＋86＋86＋88＋71＋74＋75＋62＋62＋68＋53＋57)＝77，故B正确；观察茎叶图，对男生、女生成绩进行比较，可知男生两极分化比较严重，D正确；根据女生和男生成绩数据分析可得，两组数据的中位数均为80，C错误．【答案】C考点三数字特征的应用角度1样本数字特征与直方图交汇【例3】(2019·益阳模拟)为了了解某校九年级1600名学生的体能情况，随机抽查了部分学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩(次数)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图，根据统计图的数据，下列结论错误的是()A．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为26.25B．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为27.5C．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数约为320D．该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数约为32【解析】由频率分布直方图可知，中位数是频率分布直方图面积等分线对应的数值，是26.25；众数是最高矩形的中间值27.5；1分钟仰卧起坐的次数超过30的频率为0.2，所以估计1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数为320；1分钟仰卧起坐的次数少于20的频率为0.1，所以估计1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数为160.故D错．【答案】D角度2样本的数字特征与茎叶图【例4】将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为__________．【解析】由图可知去掉的两个数是87，99，所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x＝91×7，x＝4.s2＝17[(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－91)2×2]＝367.【答案】367角度3样本的数字特征与优化决策问题【例5】某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30min抽取一包产品，称其重量，分别记录抽查数据如下：甲：102，101，99，98，103，98，99；乙：110，115，90，85，75，115，110.(1)这种抽样方法是哪一种？(2)将这两组数据用茎叶图表示．(3)将两组数据比较，说明哪个车间的产品较稳定．【解析】(1)因为间隔时间相同，所以是系统抽样．(2)茎叶图如下：(3)甲车间：平均值：x1＝17(102＋101＋99＋98＋103＋98＋99)＝100，方差：s21＝17[(102－100)2＋(101－100)2＋…＋(99－100)2]＝247.乙车间：平均值：x2＝17(110＋115＋90＋85＋75＋115＋110)＝100，方差：s22＝17[(110－100)2＋(115－100)2＋…＋(110－100)2]＝16007.∵x1＝x2，s21s22，∴甲车间的产品较稳定．【反思归纳】