2020届高考数学总复习 第十二章 选修四 12-2 参数方程课件 文 新人教A版

第2讲参数方程1．曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数x＝f（t），y＝g（t）并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做__________，简称________．参变数参数2．常见曲线的参数方程和普通方程温馨提示：在直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离.考点一参数方程与普通方程的互化【例1】(1)求直线x＝2＋t，y＝－1－t(t为参数)与曲线x＝3cosα，y＝3sinα(α为参数)的交点个数．(2)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：x＝t，y＝t－a(t为参数)过椭圆C：x＝3cosφ，y＝2sinφ(φ为参数)的右顶点，求常数a的值.【解析】(1)将x＝2＋t，y＝－1－t消去参数t得直线x＋y－1＝0；将x＝3cosα，y＝3sinα消去参数α得圆x2＋y2＝9.又圆心(0，0)到直线x＋y－1＝0的距离d＝223.因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．(2)直线l的普通方程为x－y－a＝0，椭圆C的普通方程为x29＋y24＝1，∴椭圆C的右顶点坐标为(3，0)，若直线l过(3，0)，则3－a＝0，∴a＝3.【反思归纳】跟踪训练1如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x2＋y2－x＝0的参数方程．【解析】圆的半径为12，记圆心为C12，0，连接CP，则∠PCx＝2θ，故xP＝12＋12cos2θ＝cos2θ，yP＝12sin2θ＝sinθcosθ(θ为参数)．所以圆的参数方程为x＝cos2θ，y＝sinθcosθ（θ为参数）.考点二参数方程的应用【例2】(2018·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝2cosθy＝4sinθ(θ为参数)，直线l的参数方程为x＝1＋tcosαy＝2＋tsinα(t为参数)．(1)求C和l的直角坐标方程．(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1，2)，求l的斜率．【解析】(1)曲线C的直角坐标方程为x24＋y216＝1.当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y＝tanα·x＋2－tanα，当cosα＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0.①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1，2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.又由①得t1＋t2＝－4（2cosα＋sinα）1＋3cos2α，故2cosα＋sinα＝0，于是直线l的斜率k＝tanα＝－2.【反思归纳】跟踪训练2在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝3cosθ，y＝sinθ(θ为参数)，直线l的参数方程为x＝a＋4t，y＝1－t(t为参数)．(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标．(2)若C上的点到l距离的最大值为17，求a.【解析】(1)曲线C的普通方程为x29＋y2＝1.当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.由x＋4y－3＝0，x29＋y2＝1，解得x＝3，y＝0或x＝－2125，y＝2425..从而C与l的交点坐标为(3，0)，－2125，2425.(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，故C上的点(3cosθ，sinθ)到l的距离为d＝|3cosθ＋4sinθ－a－4|17.当a≥－4时，d的最大值为a＋917.由题设得a＋917＝17，所以a＝8；当a＜－4时，d的最大值为－a＋117.由题设得－a＋117＝17，所以a＝－16.综上，a＝8或a＝－16.考点三极坐标方程与参数方程的综合应用【例3】(2019·萍乡模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝a＋acosβ，y＝asinβ(a0，β为参数)．以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程ρcosθ－π3＝32.(1)若曲线C与l只有一个公共点，求a的值．(2)A，B为曲线C上的两点，且∠AOB＝π3，求△OAB的面积最大值．【解析】(1)曲线C是以(a，0)为圆心，以a为半径的圆，直线l的直角坐标方程为x＋3y－3＝0.由直线l与圆C只有一个公共点，则可得|a－3|2＝a，解得a＝－3(舍)，a＝1.所以a＝1.(2)法一：曲线C的极坐标方程为ρ＝2acosθ(a0)，设A的极角为θ，B的极角为θ＋π3，则S△OAB＝12|OA|·|OB|sinπ3＝34|2acosθ|·2acosθ＋π3＝3a2cosθcosθ＋π3，∵cosθcosθ＋π3＝12cos2θ－32sinθcosθ＝12·cos2θ＋12－34sin2θ＝1212cos2θ－32sin2θ＋14＝12cos2θ＋π3＋14，所以当θ＝－π6时，12cos2θ＋π3＋14取得最大值34.△OAB的面积最大值为33a24.法二：因为曲线C是以(a，0)为圆心，以a为半径的圆，且∠AOB＝π3，由正弦定理得|AB|sinπ3＝2a，所以|AB|＝3a.由余弦定理得|AB|2＝3a2＝|OA|2＋|OB|2－|OA|·|OB|≥|OA|·|OB|，所以S△OAB＝12|OA|·|OB|sinπ3≤12×3a2×32＝33a24，所以△OAB的面积最大值为33a24.【反思归纳】跟踪训练3在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝2cosφ，y＝sinφ(其中φ为参数)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ(tanα·cosθ－sinθ)＝1α是常数，0απ，且α≠π2，点A，B(A在x轴的下方)是曲线C1与C2的两个不同交点．(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程．(2)求|AB|的最大值及此时点B的坐标.【解析】(1)∵x＝2cosφ，y＝sinφ，∴x24＋y2＝1，由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得曲线C2的直角坐标方程为y＝tanα·x－1.(2)由(1)得曲线C2的参数方程为x＝tcosα，y＝－1＋tsinα(t是参数)，设A(t1cosα，－1＋t1sinα)，B(t2cosα，－1＋t2sinα)，将C2：x＝tcosα，y＝－1＋tsinα，代入x24＋y2＝1，整理得t2(1＋3sin2α)－8tsinα＝0，∴t1＝0，t2＝8sinα1＋3sin2α，∴|AB|＝|t1－t2|＝8|sinα|1＋3sin2α＝83|sinα|＋1|sinα|≤823＝433(当且仅当sinα＝33取等号)，当sinα＝33时，∴0απ，且α≠π2，∴cosα＝±63，∴B±423，13，∴|AB|的最大值为433，此时点B的坐标为±423，13.