2020届高考数学总复习 第十二章 选修四 12-1 坐标系课件 文 新人教A版

第1讲坐标系1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换2．极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系：如下图所示，在平面内取一个定点O(极点)，自极点O引一条射线Ox(极轴)；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取___________方向)，这样就建立了一个极坐标系．逆时针(2)极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的_______．极角3．极坐标与直角坐标的互化点M直角坐标(x，y)极坐标(ρ，θ)互化公式错误!ρ2＝_______tanθ＝yx(x≠0)x2＋y24．圆的极坐标方程5.直线的极坐标方程(1)直线l过极点，且极轴到此直线的角为α，则直线l的极坐标方程是_________(ρ∈R)．(2)直线l过点M(a，0)且垂直于极轴，则直线l的极坐标方程为ρcosθ＝a－π2＜θ＜π2.(3)直线过Mb，π2且平行于极轴，则直线l的极坐标方程为______________(0＜θ＜π).θ＝αρsinθ＝b考点一极坐标与直角坐标的互化【例1】(1)已知直线l的极坐标方程为2ρsinθ－π4＝2，点A的极坐标为A22，7π4，求点A到直线l的距离．(2)把曲线C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0化为极坐标方程．【解析】(1)由2ρsinθ－π4＝2，得2ρ22sinθ－22cosθ＝2，所以y－x＝1.由点A的极坐标为22，7π4得点A的直角坐标为(2，－2)，所以d＝|2＋2＋1|2＝522.即点A到直线l的距离为522.(2)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0，得ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0，所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.【反思归纳】跟踪训练1已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcosθ－π4＝2.(1)将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程．(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．【解析】(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x2＋y2＝4.因为ρ2－22ρcosθ－π4＝2，所以ρ2－22ρcosθcosπ4＋sinθsinπ4＝2.所以x2＋y2－2x－2y－2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝1，即ρsinθ＋π4＝22.考点二求曲线的极坐标方程【例2】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4.M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的极坐标方程．【解析】设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ10)．由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝4cosθ.由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ(ρ0)．【反思归纳】跟踪训练2在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcosθ－π3＝1(0≤θ＜2π)，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点．(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标．(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．【解析】(1)由ρcosθ－π3＝1得ρ12cosθ＋32sinθ＝1.从而曲线C的直角坐标方程为12x＋32y＝1，即x＋3y－2＝0.当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2，0)．当θ＝π2时，ρ＝233，所以N233，π2.(2)M点的直角坐标为(2，0)，N点的直角坐标为0，233.所以P点的直角坐标为1，33，则P点的极坐标为233，π6.所以直线OP的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)．考点三曲线极坐标方程的应用【例3】(2018·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ－3＝0.(1)求C2的直角坐标方程．(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．【解析】(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.(2)由(1)知C2是圆心为A(－1，0)，半径为2的圆．由题设知，C1是过点B(0，2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以|－k＋2|k2＋1＝2，故k＝－43或k＝0.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝－43时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以|k＋2|k2＋1＝2，故k＝0或k＝43.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝43时，l2与C2没有公共点．综上，所求C1的方程为y＝－43|x|＋2.【反思归纳】跟踪训练3在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是x＝3＋5cosαy＝4＋5sinα(α为参数)．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程．(2)设l1：θ＝π6，l2：θ＝π3，若l1，l2与曲线C分别交于异于原点的A，B两点，求△AOB的面积．【解析】(1)将曲线C的参数方程化为普通方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，即x2＋y2－6x－8y＝0.所以曲线C的极坐标方程为ρ＝6cosθ＋8sinθ.(2)设Aρ1，π6，Bρ2，π3.把θ＝π6代入ρ＝6cosθ＋8sinθ，得ρ1＝4＋33.所以A4＋33，π6.把θ＝π3代入ρ＝6cosθ＋8sinθ，得ρ2＝3＋43，所以B3＋43，π3.所以S△AOB＝12ρ1ρ2sin∠AOB＝12(4＋33)(3＋43)sinπ3－π6＝12＋2534.