2020届高考数学总复习 第三章 导数及其应用 3-2-5 导数与函数的零点(选学)课件 文 新人教

第5课时导数与函数的零点(选学)考点一数形结合法研究零点问题【例1】(2019·沈阳模拟)已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2lnx.(1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性．(2)若方程f(x)＝g(x)在区间[2，e]上有两个不相等的解，求a的取值范围．【解析】(1)F(x)＝ax2－2lnx，其定义域为(0，＋∞)，所以F′(x)＝2ax－2x＝2（ax2－1）x(x＞0)．①当a＞0时，由ax2－1＞0，得x＞1a，由ax2－1＜0，得0＜x＜1a，故当a＞0时，F(x)在区间1a，＋∞上单调递增，在区间0，1a上单调递减．②当a≤0时，F′(x)＜0(x＞0)恒成立．故当a≤0时，F(x)在(0，＋∞)上单调递减．(2)原式等价于方程a＝2lnxx2在区间[2，e]上有两个不等解．【反思归纳】【例2】已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝(－x2＋ax－3)ex(a为实数)．(1)当a＝4时，求函数y＝g(x)在x＝0处的切线方程．(2)如果关于x的方程g(x)＝2exf(x)在区间1e，e上有两个不等实根，求实数a的取值范围．【解析】(1)当a＝4时，g(x)＝(－x2＋4x－3)ex，g(0)＝－3，g′(x)＝(－x2＋2x＋1)ex，g′(0)＝1，所以，所求的切线方程为y＋3＝x－0，即y＝x－3.(2)由g(x)＝2exf(x)，可得2xlnx＝－x2＋ax－3，a＝x＋2lnx＋3x.设h(x)＝x＋2lnx＋3x(x0)，所以h′(x)＝1＋2x－3x2＝（x＋3）（x－1）x2，所以x在1e，e上变化时，h′(x)，h(x)的变化如下：x1(1，e)h′(x)－0＋h(x)单调递减极小值(最小值)单调递增又h1e＝1e＋3e－2，h(1)＝4，h(e)＝3e＋e＋2.且h(e)－h1e＝4－2e＋2e0.所以实数a的取值范围为4a≤e＋2＋3e，即a的取值范围为4，e＋2＋3e.【反思归纳】考点三构造函数法研究零点问题【例3】设函数f(x)＝12x2－mlnx，g(x)＝x2－(m＋1)x.(1)求函数f(x)的单调区间．(2)当m≥1时，讨论函数f(x)与g(x)图象的交点个数．【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－mx＝x2－mx，m≤0时，f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上递增，m＞0时，f′(x)＝（x＋m）（x－m）x，当0＜x＜m时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，当x＞m时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．综上，m≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；m＞0时，函数f(x)的单调增区间是(m，＋∞)，单调减区间是(0，m)．(2)令F(x)＝f(x)－g(x)＝－12x2＋(m＋1)x－mlnx，x＞0，问题等价于求函数F(x)的零点个数，F′(x)＝－（x－1）（x－m）x，当m＝1时，F′(x)≤0，函数F(x)为减函数，注意到F(1)＝32＞0，F(4)＝－ln4＜0，所以F(x)有唯一零点；当m＞1时，0＜x＜1或x＞m时，F′(x)＜0，1＜x＜m时，F′(x)＞0，所以函数F(x)在(0，1)和(m，＋∞)上单调递减，在(1，m)上单调递增，注意到F(1)＝m＋12＞0，F(2m＋2)＝－mln(2m＋2)＜0，所以F(x)有唯一零点，综上，函数F(x)有唯一零点，即两函数图象只有一个交点．【反思归纳】