2020届高考数学总复习 第三章 导数及其应用 3-2-4 导数与含参不等式(选学)课件 文 新人教

第4课时导数与含参不等式(选学)考点一分离参数求参数范围【解析】【反思归纳】考点二等价转化法求参数范围【例2】(2019·海口模拟)函数f(x)＝x2－2ax＋lnx(a∈R)．(1)若函数y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x－2y＋1＝0垂直，求a的值．(2)若不等式2xlnx≥－x2＋ax－3在区间(0，e]上恒成立，求实数a的取值范围．【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－2a＋1x，f′(1)＝3－2a，由题意f′(1)·12＝(3－2a)·12＝－1，解得a＝52.(2)不等式2xlnx≥－x2＋ax－3在区间(0，e]上恒成立等价于2lnx≥－x＋a－3x.令g(x)＝2lnx＋x－a＋3x，则g′(x)＝2x＋1－3x2＝x2＋2x－3x2＝（x＋3）（x－1）x2，则在区间(0，1)上，g′(x)0，函数g(x)为减函数；在区间(1，e]上，g′(x)0，函数g(x)为增函数．由题意知g(x)min＝g(1)＝1－a＋3≥0，得a≤4，所以实数a的取值范围是(－∞，4]．【反思归纳】考点三含量词的不等式问题【例3】设f(x)＝ax＋xlnx，g(x)＝x3－x2－3.(1)如果存在x1，x2∈[0，2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M.(2)如果对于任意的s，t∈12，2，都有f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围．【解析】(1)存在x1，x2∈[0，2]使得g(x1)－g(x2)≥M成立，等价于[g(x1)－g(x2)]max≥M.由g(x)＝x3－x2－3，得g′(x)＝3x2－2x＝3xx－23.令g′(x)＞0得x＜0，或x＞23，令g′(x)＜0得0＜x＜23，又x∈[0，2]，所以g(x)在区间0，23上单调递减，在区间23，2上单调递增，所以g(x)min＝g23＝－8527，又g(0)＝－3，g(2)＝1，所以g(x)max＝g(2)＝1.故[g(x1)－g(x2)]max＝g(x)max－g(x)min＝11227≥M，则满足条件的最大整数M＝4.(2)对于任意的s，t∈12，2，都有f(s)≥g(t)成立，等价于在区间12，2上，函数f(x)min≥g(x)max，由(1)可知在区间12，2上，g(x)的最大值为g(2)＝1.在区间12，2上，f(x)＝ax＋xlnx≥1恒成立等价于a≥x－x2lnx恒成立．设h(x)＝x－x2lnx，h′(x)＝1－2xlnx－x，令m(x)＝xlnx，由m′(x)＝lnx＋1＞0得x＞1e.即m(x)＝xlnx在1e，＋∞上是增函数，可知h′(x)在区间12，2上是减函数，又h′(1)＝0，所以当1＜x＜2时，h′(x)＜0；当12＜x＜1时，h′(x)＞0.即函数h(x)＝x－x2lnx在区间12，1上单调递增，在区间(1，2)上单调递减，所以h(x)max＝h(1)＝1，所以a≥1，即实数a的取值范围是[1，＋∞)．【反思归纳】