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第1讲导数的概念与运算1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：①定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率②几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点___________处的_________．相应地，切线方程为______________________．(x0，f(x0))切线斜率y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)•2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝_______f(x)＝sinxf′(x)＝_______f(x)＝cosxf′(x)＝________f(x)＝axf′(x)＝________(a＞0)f(x)＝exf′(x)＝_____f(x)＝logaxf′(x)＝f(x)＝lnxf′(x)＝n·xn－1cosx－sinxex3.导数的运算法则【答案】－1题组一常识题1．(教材改编)某物体相对水平面的高度h(m)与运动时间t(s)的函数关系是h(t)＝－t2＋6t＋10，则该物体在3≤t≤4这段时间内的平均速度为________m/s.【解析】平均速度为h（4）－h（3）4－3＝18－191＝－1m/s.2．(教材改编)已知函数f(x)＝5＋3x－2x2，且f′(a)＝5，则a＝________．【解析】由题意可知，f′(x)＝3－4x，所以f′(a)＝3－4a＝5，解得a＝－12.【答案】－123．(教材改编)曲线y＝2x3－3x＋5在x＝－1处的切线的斜率为________．【解析】因为y′＝6x2－3，所以该曲线在x＝－1处的切线的斜率k＝6×(－1)2－3＝3.【答案】3【答案】y＝e4．(教材改编)函数y＝exx的图象在其极值点处的切线方程为________．【解析】y′＝ex（x－1）x2，令y′＝0，得x＝1，此时y＝e，所以函数y＝exx的图象在x＝1处的切线斜率为零，故切线方程为y＝e.•题组二常错题•◆索引：对导数的概念理解不清；导数运算法则的运用不正确．•5．若函数f(x)＝4x3＋a2＋a，则f′(x)＝________．•【解析】f′(x)＝(4x3＋a2＋a)′＝12x2.•【答案】12x26．函数y＝lnxex的导函数为________．【解析】y′＝1x·ex－ex·lnx（ex）2＝1－xlnxxex.【答案】y′＝1－xlnxxex7．已知函数f(x)＝ax3－x＋2的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，6)，则a＝________．【解析】因为f′(x)＝3ax2－1，所以函数f(x)的图象在点(1，f(1))，即点(1，1＋a)处的切线的斜率k＝f′(1)＝3a－1．又切线过点(2，6)，则经过点(1，1＋a)，(2，6)的直线的斜率k＝1＋a－61－2＝5－a，所以5－a＝3a－1，解得a＝32.【答案】32•考点一导数的计算•【例1】(1)f(x)＝x(2018＋lnx)，若f′(x0)＝2019，则x0等于()•A．e2B．1•C．ln2D．e•(2)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于()•A．－1B．－2•C．2D．0•(3)已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________．•【解析】(1)f′(x)＝2018＋lnx＋x×＝2019＋lnx，•故由f′(x0)＝2019，得2019＋lnx0＝2019，•则lnx0＝0，解得x0＝1.•(2)f′(x)＝4ax3＋2bx，•∵f′(x)为奇函数且f′(1)＝2，•∴f′(－1)＝－2.•(3)∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，•∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2.•∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4.•【答案】(1)B(2)B(3)－4【反思归纳】•考点二导数的几何意义•导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中、低档题．•角度1已知切点求切线方程【答案】y＝－2x－1【例2】已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．【解析】由题意可得当x0时，f(x)＝lnx－3x，则f′(x)＝1x－3，f′(1)＝－2，则在点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1.角度2未知切点求切线方程【例3】(1)与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是()A．2x－y＋3＝0B．2x－y－3＝0C．2x－y＋1＝0D．2x－y－1＝0(2)已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为()A．x＋y－1＝0B．x－y－1＝0C．x＋y＋1＝0D．x－y＋1＝0【解析】(1)对y＝x2求导得y′＝2x.设切点坐标为(x0，x20)，则切线斜率为k＝2x0.由2x0＝2得x0＝1，故切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.(2)∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xlnx上，∴设切点为(x0，y0)，又∵f′(x)＝1＋lnx，∴y0＝x0lnx0，y0＋1＝（1＋lnx0）x0，解得x0＝1，y0＝0.∴切点为(1，0)，∴f′(1)＝1＋ln1＝1.∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.故选B.【答案】(1)D(2)B角度3与切线有关的参数问题【例4】已知f(x)＝lnx，g(x)＝12x2＋mx＋72(m0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m等于()A．－1B．－3C．－4D．－2【解析】∵f′(x)＝1x，∴直线l的斜率为k＝f′(1)＝1.又f(1)＝0，∴切线l的方程为y＝x－1.g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝12x20＋mx0＋72，m0.于是解得m＝－2，故选D.【答案】D角度4导数与函数图象【例5】已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________．【解析】由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－13，∴f′(3)＝－13.∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由题图可知f(3)＝1，∴g′(3)＝1＋3×－13＝0.【答案】0【反思归纳】跟踪训练(1)(2019·孝义模拟)已知f(x)＝x2，则曲线y＝f(x)过点P(－1，0)的切线方程是________．(2)设曲线y＝1＋cosxsinx在点π2，1处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a＝________．【解析】(1)设切点坐标为(x0，x20)，∵f′(x)＝2x，∴切线方程为y－0＝2x0(x＋1)，∴x20＝2x0(x0＋1)，解得x0＝0或x0＝－2，【答案】(1)y＝0或4x＋y＋4＝0(2)－1∴所求切线方程为y＝0或y＝－4(x＋1)，即y＝0或4x＋y＋4＝0.(2)∵y′＝－1－cosxsin2x，∴y′|x＝π2＝－1.由条件知1a＝－1，∴a＝－1.