2020届高考数学总复习 第七章 不等式 推理与证明 7-4 合情推理与演绎推理课件 文 新人教A版

第4讲合情推理与演绎推理1．合情推理类型定义特点归纳推理根据一类事物的_______对象具有某种特征，推出这类事物的________对象都具有这种特征的推理由_______到_______、由______到_____类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理由_____到_______部分全部部分整体个别一般特殊特殊2.演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到_______的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．特殊题组一常识题1．(教材改编)已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是________．【解析】a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.【答案】an＝n22．(教材改编)推理“矩形是平行四边形，三角形不是平行四边形，所以三角形不是矩形”中的小前提是__________．【解析】由演绎推理三段论可知，“三角形不是平行四边形”是小前提．【答案】三角形不是平行四边形3．(教材改编)在平面内，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积的比为__________．【解析】依题意，在平面内，两个正三角形的面积比等于边长比的平方，在空间中，两个正四面体的体积比等于棱长比的立方．【答案】1∶84．(教材改编)如图，根据图中的数构成的规律可知a表示的数是____________．【解析】观察题图中数阵中的数字得出规律，每行最左边与最右边的数字比上一行最左边与最右边的数字增加1，中间各数字等于它肩上两个数字之积，所以a＝12×12＝144.【答案】144题组二常错题◆索引：演绎推理的两个易错点：(1)推理形式；(2)大(小)前提错误，类比不当致误．【解析】“指数函数y＝ax是增函数”是本推理的大前提，它是错误的，因为实数a的取值范围没有确定，所以导致结论是错误的．【答案】大前提错误导致结论错误6．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是____________________________________．【解析】大前提与小前提之间没有包含关系，虽然使用了“三段论”，但推理形式错误．【答案】使用了“三段论”，但推理形式错误7．已知圆的面积S(R)＝πR2.显然，S′(R)＝2πR，表示的是圆的周长C＝2πR.把该结论类比到空间，写出球中的类似结论：__________________．【解析】平面图形的面积应该和空间几何体的体积类比，平面图形的周长应该和几何体的表面积类比，所以，球中类似的结论是：以R为半径的球的体积V(R)＝43πR3，其导函数为V′(R)＝4πR2，表示的是球的表面积S(R)＝4πR2.本题易出现的问题是从平面圆类比到空间时，误以为是球的表面积的导数问题．【答案】以R为半径的球的体积V(R)＝43πR3，其导函数为V′(R)＝4πR2，表示的是球的表面积S(R)＝4πR2考点一归纳推理角度1与数字有关的推理【例1】(2019·兰州联考)观察下列等式：1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第n个等式为______________________．【解析】由前4个等式可知，第n个等式的左边第一个数为n，且连续2n－1个整数相加，右边为(2n－1)2，故第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.【答案】n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2角度2与不等式有关的推理【例2】已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋1x≥2，x＋4x2＝x2＋x2＋4x2≥3，x＋27x3＝x3＋x3＋x3＋27x3≥4，…，类比得x＋axn≥n＋1(n∈N*)，则a＝________．【解析】第一个式子是n＝1的情况，此时a＝11＝1；第二个式子是n＝2的情况，此时a＝22＝4；第三个式子是n＝3的情况，此时a＝33＝27，归纳可知a＝nn.【答案】nn角度3与数列有关的推理【例3】古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为n（n＋1）2＝12n2＋12n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n，3)＝12n2＋12n，正方形数N(n，4)＝n2，五边形数N(n，5)＝32n2－12n，六边形数N(n，6)＝2n2－n.……可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10，24)＝____________．【解析】由N(n，3)＝12n2＋12n＝3－22n2＋4－32nN(n，4)＝4－22n2＋4－42nN(n，5)＝5－22n2＋4－52nN(n，6)＝6－22n2＋4－62n∴N(n，k)＝k－22n2＋4－k2n故N(10，24)＝24－22×102＋4－242×10＝1000，故答案为1000.【答案】1000角度4与图形有关的推理【例4】(2019·青岛模拟)某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度相等，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段末端出发再生成两条长度为原来13的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，……，依此规律得到n级分形图．n级分形图中共有____________条线段．【解析】分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图有3＝(3×2－3)条线段，二级分形图有9＝(3×22－3)条线段，三级分形图中有21＝(3×23－3)条线段，按此规律n级分形图中的线段条数an＝3×2n－3(n∈N*)．【答案】3×2n－3(n∈N*)【反思归纳】跟踪训练1(2019·重庆模拟)某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1，1，2，3，5，则预计第10年树的分枝数为()A．21B．34C．52D．55【解析】因为2＝1＋1，3＝2＋1，5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55.【答案】D跟踪训练2观察下列等式：sinπ3－2＋sin2π3－2＝43×1×2；sinπ5－2＋sin2π5－2＋sin3π5－2＋sin4π5－2＝43×2×3；sinπ7－2＋sin2π7－2＋sin3π7－2＋…＋sin6π7－2＝43×3×4；sinπ9－2＋sin2π9－2＋sin3π9－2＋…＋sin8π9－2＝43×4×5；……照此规律，sinπ2n＋1－2＋sin2π2n＋1－2＋sin3π2n＋1－2＋…＋sin2nπ2n＋1－2＝______________．【解析】通过类比，可以发现，最前面的数字是43，接下来是和项数有关的两项的乘积，即n(n＋1)，故答案为43×n×(n＋1)．【答案】43×n×(n＋1)跟踪训练3在△ABC中，不等式1A＋1B＋1C≥9π成立；在凸四边形ABCD中，不等式1A＋1B＋1C＋1D≥162π成立；在凸五边形ABCDE中，不等式1A＋1B＋1C＋1D＋1E≥253π成立，……，依此类推，在凸n边形A1A2…An中，不等式1A1＋1A2＋…＋1An≥____________成立．【解析】因为1A＋1B＋1C≥9π＝32π，1A＋1B＋1C＋1D≥162π＝422π，1A＋1B＋1C＋1D＋1E≥253π＝523π，……，所以1A1＋1A2＋…＋1An≥n2（n－2）π(n∈N*，n≥3)．【答案】n2（n－2）π(n∈N*，n≥3)考点二类比推理【例5】(2019·抚顺模拟)若数列{an}是等差数列，则数列{bn}bn＝a1＋a2＋…＋ann也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为()A．dn＝c1＋c2＋…＋cnnB．dn＝c1·c2·…·cnnC．dn＝ncn1＋cn2＋…＋cnnnD．dn＝nc1·c2·…·cn【解析】若{an}是等差数列，则a1＋a2＋…＋an＝na1＋n（n－1）2d，所以bn＝a1＋n－12d＝d2n＋a1－d2，即{bn}为等差数列；若{cn}是等比数列，则c1·c2·…·cn＝cn1·q1＋2＋…＋(n－1)＝cn1·qn（n－1）2，所以dn＝nc1·c2·…·cn＝c1·qn－12，即{dn}为等比数列．故选D.【答案】D【反思归纳】跟踪训练4如图所示，在平面上，用一条直线截正方形的一个角，截下的是一个直角三角形，有勾股定理c2＝a2＋b2.空间中的正方体，用一平面去截正方体的一角，截下的是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，若这三个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，截面面积为S，类比平面的结论有__________．【解析】三角形类比空间中的三棱锥，线段的长度类比图形的面积，于是作出猜想：S2＝S21＋S22＋S23.【答案】S2＝S21＋S22＋S23考点三演绎推理【例6】数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝n＋2nSn(n∈N*)．证明：(1)数列Snn是等比数列．(2)Sn＋1＝4an.【证明】(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝n＋2nSn，∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn，故Sn＋1n＋1＝2·Snn，(小前提)故Snn是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知Sn＋1n＋1＝4·Sn－1n－1(n≥2)，∴Sn＋1＝4(n＋1)·Sn－1n－1＝4·n－1＋2n－1·Sn－1＝4an(n≥2)．(小前提)又∵a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提)∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论)【反思归纳】跟踪训练5(1)有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是()A．甲B．乙C．丙D．丁(2)已知在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：ab.证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A∠B.∴ab.其中，画线部分是演绎推理的()A．大前提B．小前提C．结论D．三段论【解析】(1)若甲猜测正确，则4号或5号得第一名，那么乙猜测也正确，与题意不符，故甲猜测错误，即4号和5号均不是第一名．若丙猜测正确，那么乙猜测也正确，与题意不符，故仅有丁猜测正确，所以选D.【答案】(1)D(2)B