2020届高考数学总复习 第六章 数列 6-2 等差数列及其前n项和课件 文 新人教A版

第2讲等差数列及其前n项和1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从_________起，每一项与它的前一项的_____都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．用符号表示为______________(n∈N*，d为常数)．第2项an＋1－an＝d差3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋_______________(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则___________________．(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为_____．(n－m)dak＋al＝am＋an2d(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为______的等差数列．md题组一常识题1．(教材改编)等差数列11，8，5，…中，－49是它的第________项．【解析】由题意得a1＝11，d＝8－11＝－3，所以an＝11＋(n－1)×(－3)＝－3n＋14.由－3n＋14＝－49，得n＝21.【答案】212．(教材改编)在等差数列{an}中，a2＝3，a3－a4＝－4，则a9＝________．【解析】因为a3－a4＝－4，所以公差d＝4，所以an＝a2＋(n－2)d＝3＋(n－2)×4＝4n－5，则a9＝4×9－5＝31.【答案】31【答案】543．(教材改编)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5＝6，则S9＝________．【解析】因为S9＝9（a1＋a9）2＝9a5＝9×6＝54.4．(教材改编)在100以内的正整数中有________个能被6整除的数.【解析】由题意知，能被6整除的数构成一个等差数列{an}，且a1＝6，d＝6，则an＝6＋(n－1)×6＝6n.由an＝6n≤100，得n≤16，所以在100以内的正整数中有16个能被6整除的数．【答案】16题组二常错题◆索引：等差数列概念中的两个易误点，即同一个常数与常数；不能正确应用等差数列的性质；对等差数列的通项公式和前n项和公式之间的关系处理不清．5．若数列{an}满足a1＝1，an＋1－an＝n，则数列{an}的通项公式为an＝________．【解析】由an＋1－an＝n，得a2－a1＝1，a3－a2＝2，…，an－an－1＝n－1(n≥2)，以上各式相加，得an－a1＝1＋2＋…＋(n－1)＝（n－1）（1＋n－1）2＝n（n－1）2，即an＝n（n－1）2＋1，因为a1＝1，也适合上式，所以an＝1＋n（n－1）2.【答案】1＋n（n－1）2【答案】26．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S33－S22＝1，则数列{an}的公差是________．【解析】∵Sn＝n（a1＋an）2，∴Snn＝a1＋an2，又S33－S22＝1，∴a1＋a32－a1＋a22＝1，即a3－a2＝2，∴数列{an}的公差为2.【答案】147．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n＝________．【解析】易知Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，所以4(a1＋an)＝120，则a1＋an＝30，由Sn＝n（a1＋an）2＝210，得n＝14.8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝10，S10＝30，则S15＝________．【解析】因为数列{an}为等差数列，所以S5，S10－S5，S15－S10也成等差数列．设S15＝x，则10，20，x－30成等差数列，所以2×20＝10＋(x－30)，得x＝60，即S15＝60.【答案】60考点一等差数列基本量的运算【例1】(1)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为()A．1B．2C．4D．8(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝__________．【解析】(1)设{an}的公差为d，则由a4＋a5＝24，S6＝48，得（a1＋3d）＋（a1＋4d）＝24，6a1＋6×52d＝48，解得d＝4.故选C.(2)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由已知，得a12＝a1＋11d＝－8，S9＝9a1＋9×82d＝－9，解得a1＝3，d＝－1.∴S16＝16×3＋16×152×(－1)＝－72.【答案】(1)C(2)－72【反思归纳】跟踪训练1(1)(2019·云南统考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，S11＝22，a4＝－12，若am＝30，则m＝()A．9B．10C．11D．15(2)《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾(注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布)，第1天织5尺布，现在一月(按30天计)，共织390尺布，则第2天织布的尺数为()A.16129B.16131C.8115D.8015【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，依题意S11＝11a1＋11×（11－1）2d＝22，a4＝a1＋3d＝－12，解得a1＝－33，d＝7，∴am＝a1＋(m－1)d＝7m－40＝30，∴m＝10.(2)由条件知该女子每天织布的尺数构成一个等差数列{an}，且a1＝5，S30＝390，设公差为d，则30×5＋30×292×d＝390，解得d＝1629，则a2＝a1＋d＝16129，故选A.【答案】(1)B(2)A考点二等差数列的判定与证明【例2】(2019·岳阳模拟)若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝12.(1)求证：1Sn成等差数列．(2)求数列{an}的通项公式．【解析】(1)证明：当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以1Sn－1Sn－1＝2，又1S1＝1a1＝2，故1Sn是首项为2，公差为2的等差数列．(2)由(1)可得1Sn＝2n，∴Sn＝12n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝12n－12（n－1）＝n－1－n2n（n－1）＝－12n（n－1）.当n＝1时，a1＝12不适合上式．故an＝12，n＝1，－12n（n－1），n≥2.【反思归纳】跟踪训练2已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝1an－1.(1)证明：数列{bn}是等差数列．(2)求数列{an}的通项公式．【解析】(1)证明：1an＋1－1－1an－1＝an－an＋1（an＋1－1）（an－1）＝13，∴bn＋1－bn＝13，∴{bn}是等差数列．(2)由(1)及b1＝1a1－1＝12－1＝1.知bn＝13n＋23，∴an－1＝3n＋2，∴an＝n＋5n＋2.考点三等差数列的性质角度1基本性质am＋an＝ap＋aq的应用【例3】(2018·怀化模拟)已知f(x)＝(x－4)3＋x－1，{an}是公差不为0的等差数列，f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a9)＝27，则f(a5)的值为()A．0B．1C．3D．5【解析】∵f(x)＝(x－4)3＋x－1，∴f(x)－3＝(x－4)3＋x－4＝g(x－4)，令x－4＝t，可得函数g(t)＝t3＋t为奇函数且单调递增．{an}是公差不为0的等差数列，∴a1＋a9＝a2＋a8＝a3＋a7＝a4＋a6＝2a5.∵f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a9)＝27，∴g(a1)＋g(a2)＋…＋g(a9)＝0，∴g(a5)＝0，则f(a5)＝g(a5)＋3＝3.故选C.【答案】C【例4】已知{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b10＝9，a3＋b8＝15，则a5＋a6＝________．【解析】因为{an}，{bn}都是等差数列，所以2a3＝a1＋a5，2b8＝b10＋b6，所以2(a3＋b8)＝(a1＋b10)＋(a5＋b6)，即2×15＝9＋(a5＋b6)，解得a5＋b6＝21.【答案】21角度2奇偶数项和问题【例5】一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差d＝________．【解析】设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d.由已知条件，得S奇＋S偶＝354，S偶∶S奇＝32∶27，解得S偶＝192，S奇＝162.又S偶－S奇＝6d，所以d＝192－1626＝5.【答案】5角度3SnSm性质的应用【例6】(2019·南昌模拟)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a6a5＝911，则S11S9等于()A．1B．－1C．2D.12【解析】S11S9＝11（a1＋a11）29（a1＋a9）2＝11a69a5＝119×911＝1.【答案】A角度4Sm，S2m－Sm，S3m－S2m性质及应用【例7】设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝－12，S9＝45，则S12＝__________．【解析】因为{an}是等差数列，所以S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列，所以2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，即2(S6＋12)＝－12＋(45－S6)，解得S6＝3；又2(S9－S6)＝(S6－S3)＋(S12－S9)，即2×(45－3)＝(3＋12)＋(S12－45)，解得S12＝114.【答案】114角度5等差数列前n项和最值问题【例8】(2018·全国Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.(1)求{an}的通项公式．(2)求Sn，并求Sn的最小值．【解析】(1)设{an}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15.由a1＝－7得d＝2.所以{an}的通项公式为an＝2n－9.(2)由(1)得Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16.所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.【反思归纳】