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第1讲数列的概念与简单表示法1．数列的有关概念概念含义数列按照____________排列的一列数数列的项数列中的____________数列的通项数列{an}的第n项an一定顺序每一个数通项公式数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式____________表示，这个公式叫做数列的通项公式前n项和数列{an}中，Sn＝__________________叫做数列的前n项和an＝f(n)a1＋a2＋…＋an2.数列的表示方法3.an与Sn的关系若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.4．数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数______无穷数列项数_____项与项间的大小关系递增数列an＋1_______an其中n∈N*递减数列an＋1______an常数列an＋1＝an有限无限＞＜题组一常识题1．(教材改编)数列－1，12，－13，14，－15，…的通项公式为________________．【解析】原数列中的项的符号一负一正交替出现，故为摆动数列，乘(－1)n，取绝对值后分别观察分子、分母，得第n项为1n，∴an＝(－1)n·1n.【答案】an＝(－1)n·1n2．(教材改编)若数列{an}满足an＋1＝1＋1an，a8＝3421，则a5＝________．【解析】由题可得a7＝2113，a6＝138，a5＝85.【答案】853．(教材改编)已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋3，则数列{an}是__________数列(填“递增”或“递减”)．【解析】由数列{an}的通项公式，得an＋1－an＝[2(n＋1)＋3]－(2n＋3)＝20，所以{an}是递增数列．【答案】递增4．(教材改编)如图所示的图形的点数构成数列{an}，则a8＝________．【解析】由题得a1＝1，a2＝4，a3＝7，…，则{an}的通项公式为an＝3n－2，所以a8＝3×8－2＝22.【答案】22题组二常错题◆索引：对数列概念中的两个易混点，即项an和项数n；利用an与Sn的关系求通项公式时，易忽略验证“n＝1”；数列是自变量为正整数的特殊函数．5．已知数列{an}的通项公式为an＝n－1n＋1，则数列{an}的第5项是________．【解析】由数列{an}的通项公式，得a5＝5－15＋1＝46＝23，即数列{an}的第5项是23.【答案】23【答案】216．已知数列5，11，17，23，29，…，则55是数列的第________项．【解析】数列5，11，17，23，29，…中的各项可变形为5，5＋6，5＋2×6，5＋3×6，5＋4×6，…，所以数列的通项公式为an＝5＋6（n－1）＝6n－1，令6n－1＝55，得n＝21.【答案】an＝0，n＝1，2n－4，n≥27．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－3n＋2，则{an}的通项公式为________．【解析】当n＝1时，a1＝S1＝12－3×1＋2＝0；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－3n＋2－[(n－1)2－3(n－1)＋2]＝2n－4.显然当n＝1时，不满足上式，所以an＝0，n＝1，2n－4，n≥2.【答案】08．已知数列{an}的通项公式为an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}的最大项为________．【解析】由题意得an＝－3n－522＋34，∴当n＝2或3时，an取得最大值0.考点一由数列的前n项求数列的通项公式【例1】(1)已知数列{an}的前4项为2，5，8，11，则数列{an}的一个通项公式是__________．(2)已知数列{an}的前4项为－12，35，－35，1017，则数列{an}的一个通项公式是________．(3)如图所示，这是一个正六边形的序列，则第n个图形的边数为()A．5n－1B．6nC．5n＋1D．4n＋2【解析】(1)从第二项起，每一项都比前一项大3，且每一项都比项数的3倍少1，故其通项公式可以为an＝3n－1.(2)原数列为－12，35，－610，1017，对于分子1，3，6，10，其通项公式为bn＝n（n＋1）2，对于分母2，5，10，17，其通项公式为cn＝n2＋1，故可得数列{an}的一个通项公式为an＝(－1)nn（n＋1）2（n2＋1）.(3)第一个图形是六边形，即a1＝6，以后每个图形是在前一个图形的基础上增加5条边，所以a2＝6＋5＝11，a3＝11＋5＝16，观察可得选项C满足此条件．【答案】(1)an＝3n－1(2)an＝(－1)nn（n＋1）2（n2＋1）(3)C【反思归纳】跟踪训练1(1)(2017·湖南长沙一模)已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项不可能是()A．an＝(－1)n－1＋1B．an＝2，n为奇数0，n为偶数C．an＝2sinnπ2D．an＝cos(n－1)π＋1(2)(2019·石家庄模拟)把1，3，6，10，15，21，…这些数叫做三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图)．则第7个三角形数是()A．27B．28C．29D．30【解析】(1)对n＝1，2，3，4进行验证，an＝2sinnπ2不合题意，故选C.(2)由图可知，第7个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.【答案】(1)C(2)B考点二an与Sn关系的应用角度1已知Sn求an【例2】已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式为________．【解析】当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为an＝2，n＝1，6n－5，n≥2.【答案】an＝2，n＝16n－5，n≥2【互动探究】若本例中条件“前n项和Sn＝3n2－2n＋1”改为“前n项积为Tn＝3n2－2n＋1”，求an.【解析】当n＝1时，a1＝T1＝3×12－2×1＋1＝2，当n≥2时，an＝TnTn－1＝3n2－2n＋13（n－1）2－2（n－1）＋1＝3n2－2n＋13n2－8n＋6.显然当n＝1时，满足上式．故数列的通项公式为an＝3n2－2n＋13n2－8n＋6.角度2利用an与Sn的关系求Sn【例3】设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝__________．【解析】将an＋1转化为Sn与Sn＋1，再求解．由已知得an＋1＝Sn＋1－Sn＝Sn＋1·Sn，两边同时除以－Sn＋1·Sn，得1Sn＋1－1Sn＝－1，故数列1Sn是以－1为首项，－1为公差的等差数列，则1Sn＝－1－(n－1)＝－n，所以Sn＝－1n.【答案】－1n【反思归纳】跟踪训练2(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an＝________．(2)(2019·广州模拟)设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝n3，则an＝__________．【解析】(1)当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2×3n－1.当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，所以an＝4，n＝1，2×3n－1，n≥2.(2)因为a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝n3，①则当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝n－13，②①－②得3n－1an＝13，所以an＝13n(n≥2)．由题意知a1＝13，符合上式，所以an＝13n.【答案】(1)4，n＝1，2×3n－1，n≥2(2)13n考点三由数列的递推公式求通项公式角度1形如an＋1＝an＋f(n)求an【例4】在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋1n（n＋1），求数列{an}的通项公式．【解析】由题意，得an＋1－an＝1n（n＋1）＝1n－1n＋1，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝1n－1－1n＋1n－2－1n－1＋…＋12－13＋1－12＋2＝3－1n.角度2形如an＋1＝an·f(n)，求an【例5】在数列{an}中，a1＝1，an＝n－1nan－1(n≥2)，求数列{an}的通项公式．【解析】∵an＝n－1nan－1(n≥2)，∴an－1＝n－2n－1an－2，an－2＝n－3n－2an－3，…，a2＝12a1.以上(n－1)个式子相乘得an＝a1·12·23·…·n－1n＝a1n＝1n.当n＝1时，a1＝1，上式也成立．∴an＝1n(n∈N*)．角度3形如an＋1＝Aan＋B，求an【例6】在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求它的一个通项公式为an.【解析】设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1＋t＝2(an＋t)，即an＋1＝2an＋t，解得t＝3.故an＋1＋3＝2(an＋3)．令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，且bn＋1bn＝an＋1＋3an＋3＝2.所以{bn}是以4为首项，2为公比的等比数列．∴bn＝4·2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3.角度4形如an＋1＝AanBan＋C(A，B，C为常数)，求an【例7】已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2anan＋2，求数列{an}的通项公式．【解析】∵an＋1＝2anan＋2，a1＝1，∴an≠0，∴1an＋1＝1an＋12，即1an＋1－1an＝12，又a1＝1，则1a1＝1，∴1an是以1为首项，12为公差的等差数列．∴1an＝1a1＋(n－1)×12＝n2＋12，∴an＝2n＋1(n∈N*)．【反思归纳】