2020届高考数学总复习 第九章 解析几何 9-8-1 圆锥曲线的综合问题课件 文 新人教A版

第8讲圆锥曲线的综合问题1．直线与圆锥曲线的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线C：F(x，y)＝0，由Ax＋By＋C＝0，F（x，y）＝0消去y得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线l与圆锥曲线C有______个公共点；Δ＝0⇔直线l与圆锥曲线C有____个公共点；Δ＜0⇔直线l与圆锥曲线C有个公共点．(2)当a＝0，b≠0时，圆锥曲线C为抛物线或双曲线．当C为双曲线时，l与双曲线的渐近线______________，它们的公共点有____个或____个．当C为抛物线时，l与抛物线的对称轴_____________，它们的公共点有_____个．两平行或重合一10平行或重合1零2．圆锥曲线的弦长公式设斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝1＋k2·____________＝1＋k2·（x1＋x2）2－4x1x2.|x1－x2|【知识拓展】过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线．【答案】±1题组一常识题1．(教材改编)过原点的直线l被抛物线x2＝4y截得的线段长为42，则直线l的斜率为____________．【解析】设直线l的方程为y＝kx，将其代入抛物线方程，得x2－4kx＝0，所以被截得的线段两端点的坐标分别为(0，0)，(4k，4k2)，所以（4k）2＋（4k2）2＝42，解得k＝±1.2．(教材改编)点P(x，y)在椭圆x22＋y2＝1上运动，则x＋y的最大值是__________．【解析】令x＋y＝t，将其代入椭圆方程，消去y，得3x2－4tx＋2t2－2＝0，由Δ＝(－4t)2－4×3(2t2－2)≥0，得t2≤3，即－3≤t≤3，所以x＋y的最大值为3.【答案】33．(教材改编)若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是__________．【解析】由y＝kx＋2，x2－y2＝6，得(1－k2)x2－4kx－10＝0.设直线与双曲线的右支交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1－k2≠0，Δ＝16k2－4（1－k2）×（－10）0，x1＋x2＝4k1－k20，x1x2＝－101－k20，解得－153k－1.【答案】－153，－1题组二常错题◆索引：错误利用圆锥曲线的几何性质；对直线与圆锥曲线交点个数的理解有误区；求范围时忽略圆锥曲线中x，y本身的范围．4．已知点F1，F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是__________．【解析】由题设条件可知△ABF2为等腰三角形，只要∠AF2B为钝角即可，所以有b2a2c，即b22ac，所以c2－a22ac，解得e1＋2.【答案】(1＋2，＋∞)5．直线l：y＝k(x－2)与双曲线x2－y2＝1仅有一个公共点，则实数k的值为____________．【解析】由x2－y2＝1，y＝k（x－2），得(1－k2)x2＋22k2x－2k2－1＝0.当1－k2＝0，即k＝±1时，方程只有一根，所以直线与双曲线仅有一个公共点；当1－k2≠0，即k≠±1时，要满足题意需Δ＝(22k2)2－4(1－k2)(－2k2－1)＝0，此时无解．所以直线l：y＝k(x－2)与双曲线x2－y2＝1仅有一个公共点时，实数k的值为1或－1.【答案】1或－16．已知P(x，y)在椭圆x22＋y2＝1上，则x2＋y2＋2x的取值范围是__________．【解析】由椭圆方程得y2＝1－x22，所以x2＋y2＋2x＝12x2＋2x＋1＝12(x＋2)2－1.由x22＋y2＝1，得|x|≤2，所以当x＝2时，x2＋y2＋2x有最大值2＋22；当x＝－2时，x2＋y2＋2x有最小值2－22.所以x2＋y2＋2x∈[2－22，2＋22]．【答案】[2－22，2＋22]第1课时最值、范围、证明问题考点一最值问题【例1】在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为22，焦距为2.(1)求椭圆E的方程．(2)如图，动直线l：y＝k1x－32交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率为k2，且k1k2＝24，圆心M是线段OC延长线上一点，且|MC|∶|AB|＝2∶3，M的半径为|MC|，OS，OT是圆M的两条切线，切点分别为S，T.求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．【解析】(1)由题意知e＝ca＝22，2c＝2，所以a＝2，b＝1，因此椭圆E的方程为x22＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程x22＋y2＝1，y＝k1x－32，得(4k21＋2)x2－43k1x－1＝0，由题意知Δ0，且x1＋x2＝23k12k21＋1，x1x2＝－12（2k21＋1），所以|AB|＝1＋k21|x1－x2|＝21＋k211＋8k212k21＋1.由题意可知圆M的半径r为r＝223·1＋k211＋8k212k21＋1由题设知k1k2＝24，所以k2＝24k1因此直线OC的方程为y＝24k1x.联立方程x22＋y2＝1，y＝24k1x，得x2＝8k211＋4k21，y2＝11＋4k21，因此|OC|＝x2＋y2＝1＋8k211＋4k21.由题意可知sin12∠SOT＝rr＋|OC|＝11＋|OC|r，而|OC|r＝1＋8k211＋4k21223·1＋k211＋8k212k21＋1＝324·1＋2k211＋4k211＋k21，令t＝1＋2k21，则t1，1t∈(0，1)，因此|OC|r＝32·t2t2＋t－1＝32·12＋1t－1t2＝32·1－1t－122＋94≥1，当且仅当1t＝12，即t＝2时等号成立，此时k1＝±22，所以sin12∠SOT≤12，因此12∠SOT≤π6，所以∠SOT最大值为π3.综上所述：∠SOT的最大值为π3，取得最大值时直线l的斜率为k1＝±22.【反思归纳】跟踪训练1已知椭圆E的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，离心率等于223，P是椭圆E上的点．以线段PF1为直径的圆经过F2，且9PF1→·PF2→＝1.(1)求椭圆E的方程．(2)作直线l与椭圆E交于两个不同的点M，N，如果线段MN被直线2x＋1＝0平分，求直线l的倾斜角的取值范围．【解析】(1)依题意，设椭圆E的方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)，半焦距为c.∵椭圆E的离心率等于223，∴c＝223a，b2＝a2－c2＝a29.∵以线段PF1为直径的圆经过F2，∴PF2⊥F1F2.∴|PF2|＝b2a.∵9PF1→·PF2→＝1，∴9|PF2→|2＝9b4a2＝1.由b2＝a29，9b4a2＝1，得a2＝9，b2＝1，∴椭圆E的方程为y29＋x2＝1.(2)∵直线x＝－12与x轴垂直，且由已知得直线l与直线x＝－12相交，∴直线l不可能与x轴垂直，∴设直线l的方程为y＝kx＋m.由y＝kx＋m，9x2＋y2＝9，得(k2＋9)x2＋2kmx＋(m2－9)＝0.∵直线l与椭圆E交于两个不同的点M，N，∴Δ＝4k2m2－4(k2＋9)(m2－9)0，即m2－k2－90.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－2kmk2＋9.∵线段MN被直线2x＋1＝0平分，∴2×x1＋x22＋1＝0，即－2kmk2＋9＋1＝0.由m2－k2－90，－2kmk2＋9＋1＝0，得k2＋92k2－(k2＋9)0.∵k2＋90，∴k2＋94k2－10，∴k23，解得k3或k－3.∴直线l的倾斜角的取值范围为π3，π2∪π2，2π3.考点二范围问题【例2】(2019·福州质检)设点A为圆C：x2＋y2＝4上的动点，点A在x轴上的投影为Q.动点M满足2MQ→＝AQ→，动点M的轨迹为E.(1)求E的方程．(2)设E与y轴正半轴的交点为B，过点B的直线l的斜率为k(k≠0)，l与E交于另一点P.若以点B为圆心，以线段BP长为半径的圆与E有4个公共点，求k的取值范围．【解析】法一：(1)设点M(x，y)，由2MQ→＝AQ→，得A(x，2y)，由于点A在圆C：x2＋y2＝4上，则x2＋4y2＝4，即动点M的轨迹E的方程为x24＋y2＝1.(2)由(1)知，E的方程为x24＋y2＝1，因为E与y轴正半轴的交点为B，所以B(0，1)，所以过点B且斜率为k的直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)．由y＝kx＋1，x24＋y2＝1，得(1＋4k2)x2＋8kx＝0，设B(x1，y1)，P(x2，y2)，因此x1＝0，x2＝－8k1＋4k2，|BP|＝1＋k2|x1－x2|＝8|k|1＋4k21＋k2.由于以点B为圆心，线段BP长为半径的圆与椭圆E的公共点有4个，由对称性可设在y轴左侧的椭圆上有两个不同的公共点P，T，满足|BP|＝|BT|，此时直线BP的斜率k＞0，记直线BT的斜率为k1，且k1＞0，k1≠k.则|BT|＝8|k1|1＋4k211＋k21，故8|k1|1＋4k211＋k21＝8|k|1＋4k21＋k2，所以k21＋k411＋4k21－k2＋k41＋4k2＝0.即(1＋4k2)k21＋k41＝(1＋4k21)k2＋k4，所以(k2－k21)(1＋k2＋k21－8k2k21)＝0.由于k1≠k，因此1＋k2＋k21－8k2k21＝0，故k2＝k21＋18k21－1＝18＋98（8k21－1）.因为k2＞0，所以8k21－1＞0，所以k2＝18＋98（8k21－1）＞18.又k＞0，所以k＞24.又k1≠k，所以1＋k2＋k2－8k2k2≠0，所以8k4－2k2－1≠0.又k＞0，解得k≠22，所以k∈24，22∪22，＋∞.根据椭圆的对称性，k∈－∞，－22∪－22，－24也满足题意．综上所述，k的取值范围为－∞，－22∪－22，－24∪24，22∪22，＋∞.法二：(1)设点M(x，y)，A(x1，y1)，则Q(x1，0)．因为2MQ→＝AQ→，所以2(x1－x，－y)＝(0，－y1)，所以2（x1－x）＝0，－2y＝－y1，解得x1＝x，y1＝2y.因为点A在圆C：x2＋y2＝4上，所以x2＋4y2＝4，所以动点M的轨迹E的方程为x24＋y2＝1.(2)由(1)知，E的方程为x24＋y2＝1，所以B的坐标为(0，1)，易得直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)．由y＝kx＋1，x24＋y2＝1，得(1＋4k2)x2＋8kx＝0，设B(x1，y1)，P(x2，y2)，因此x1＝0，x2＝－8k1＋4k2，|BP|＝1＋k2|x1－x2|＝8|k|1＋4k21＋k2.则点P的轨迹方程为x2＋(y－1)2＝64k2（1＋k2）（1＋4k2）2，由x2＋（y－1）2＝64k2（1＋k2）（1＋4k2）2，x2＋4y2＝4，得3y2＋2y－5＋64k2（1＋k2）（1＋4k2）2＝0(－1＜y＜1)．(*)依题意，得(*)式在y∈(－1，1)上有两个不同的实数解．设f(x)＝3x2＋2x－5＋64k2（1＋k