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第6讲双曲线1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c0)的距离之差的__________为非零常数2a(2a2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的________．绝对值焦点(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a0，c0.①当_______________时，M点的轨迹是双曲线；②当_____________时，M点的轨迹是两条射线；③当______________时，M点不存在．2a|F1F2|2a＝|F1F2|2a|F1F2|2．双曲线的标准方程和几何性质3.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为______________，离心率为e＝2.y＝±x【知识拓展】三种常见双曲线方程的设法(1)若已知双曲线过两点，焦点位置不能确定，可设方程为Ax2＋By2＝1(AB0)．(2)当已知双曲线的渐近线方程bx±ay＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)．(3)与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．题组一常识题1．(教材改编)以椭圆x24＋y23＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为______________．【解析】设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．因为椭圆x24＋y23＝1的焦点为(±1，0)，长轴上的顶点为(±2，0)，所以双曲线的顶点为(±1，0)，焦点为(±2，0)，所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3，所以双曲线的方程为x2－y23＝1.【答案】x2－y23＝12．(教材改编)已知双曲线x2a2－y2＝1(a0)的一条渐近线方程为3x＋y＝0，则a＝__________．【解析】双曲线x2a2－y2＝1的一条渐近线方程为1ax＋y＝0，由题可知1a＝3，∴a＝33.【答案】333．(教材改编)已知双曲线x2a2－y25＝1(a0)的右焦点为点(3，0)，则该双曲线的离心率等于__________．【解析】因为双曲线的右焦点坐标为(3，0)，所以c＝3，又b2＝5，则a2＝c2－b2＝9－5＝4，所以a＝2，所以e＝ca＝32.【答案】324．(教材改编)双曲线x216－y29＝1上的点P到其右焦点F2的距离是6，则点P的坐标是__________．【解析】设左焦点为F1，根据双曲线方程可知c＝16＋9＝5，所以焦点为F2(5，0)，F1(－5，0)．设P(x，y)，由两点间距离公式得|PF2|＝（x－5）2＋y2＝6，①由题易知点P在双曲线右支上，所以|PF1|＝（x＋5）2＋y2，又因为|PF1|－|PF2|＝2a＝8，所以（x＋5）2＋y2＝2a＋6＝14，所以(x＋5)2＋y2＝196，②①②联立，解得x＝8，则y＝±33，所以点P的坐标为(8，±33)．【答案】(8，±33)题组二常错题◆索引：易忽视双曲线定义中的条件“2a|F1F2|”；易忽视定义中的条件“差的绝对值”；易忽视双曲线的焦点位置；易忽视双曲线上的点的位置．5．平面内到点F1(6，0)，F2(－6，0)的距离之差的绝对值等于12的点的轨迹是__________．【解析】由已知得|F1F2|＝12，而|PF1|－|PF2|＝±12，不满足2a|F1F2|这一条件，故所求点的轨迹是两条射线．【答案】两条射线6．平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是____________．【解析】由|PF1|－|PF2|＝68，得c＝4，a＝3，则b2＝c2－a2＝7，则所求点的轨迹是双曲线y29－x27＝1的下支．【答案】双曲线y29－x27＝1的下支7．以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为π3，则双曲线的离心率为____________．【解析】若双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，渐近线的方程为y＝±bax，由题意可得b＝3a，所以c＝2a，即e＝ca＝2；若双曲线的焦点在y轴上，设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，则渐近线的方程为y＝±abx，由题意可得a＝3b，所以c＝233a，即e＝233.综上可得e＝2或e＝233.【答案】2或233【答案】178．P是双曲线x216－y281＝1上任意一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|＝9，则|PF2|＝__________．【解析】由题设知a＝4，b＝9，所以c＝a2＋b2＝97，由于|PF1|＝9a＋c＝4＋97，故P点只能在双曲线的左支上，∴|PF2|－|PF1|＝2a＝8，∴|PF2|＝|PF1|＋8＝17.考点一双曲线的定义及应用【例1】(1)已知双曲线x2－y224＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若|PF1|＝43|PF2|，则△F1PF2的面积为()A．48B．24C．12D．6(2)(2019·武汉调研)若双曲线x24－y212＝1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1，4)，则|PF|＋|PA|的最小值是()A．8B．9C．10D．12【解析】(1)由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝13|PF2|＝2a＝2，解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，又|F1F2|＝10，由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形，因此S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|＝24.(2)由题意知，双曲线x24－y212＝1的左焦点F的坐标为(－4，0)，设双曲线的右焦点为B，则B(4，0)，由双曲线的定义知|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋（4－1）2＋（0－4）2＝4＋5＝9，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号．所以|PF|＋|PA|的最小值为9.【答案】(1)B(2)B【反思归纳】跟踪训练1已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝()A.14B.13C.24D.23【解析】由e＝ca＝2得c＝2a，如图，由双曲线的定义得|F1A|－|F2A|＝2a.又|F1A|＝2|F2A|，故|F1A|＝4a，|F2A|＝2a，∴cos∠AF2F1＝（4a）2＋（2a）2－（4a）22×4a×2a＝14.【答案】A考点二双曲线的标准方程【例2】(1)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝52x，且与椭圆x212＋y23＝1有公共焦点，则C的方程为()A.x28－y210＝1B.x24－y25＝1C.x25－y24＝1D.x24－y23＝1(2)已知点A(－1，0)，B(1，0)为双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，点M在双曲线上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则该双曲线的标准方程为()A．x2－y24＝1B．x2－y23＝1C．x2－y22＝1D．x2－y2＝1【解析】(1)由y＝52x可得ba＝52.①由椭圆x212＋y23＝1的焦点为(3，0)，(－3，0)，可得a2＋b2＝9.②由①②可得a2＝4，b2＝5.所以C的方程为x24－y25＝1.故选B.(2)由题意知a＝1.不妨设点M在第一象限，则由题意有|AB|＝|BM|＝2，∠ABM＝120°.过点M作MN⊥x轴于点N，则|BN|＝1，|MN|＝3，所以M(2，3)，代入双曲线方程得4－3b2＝1，解得b＝1，所以双曲线的方程为x2－y2＝1，故选D.【答案】(1)B(2)D【反思归纳】跟踪训练2(1)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1的离心率e＝54，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为()A.x24－y23＝1B.x29－y216＝1C.x216－y29＝1D.x23－y24＝1(2)设椭圆C1的离心率为513，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为________________．【解析】(1)由焦点F2(5，0)知c＝5.又e＝ca＝54，得a＝4，b2＝c2－a2＝9.∴双曲线C的标准方程为x216－y29＝1.(2)由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(－5，0)，F2(5，0)，设曲线C2上的一点P，则||PF1|－|PF2||＝8.由双曲线的定义知：a＝4，b＝3.故曲线C2的标准方程为x242－y232＝1，即x216－y29＝1.【答案】(1)C(2)x216－y29＝1考点三双曲线的几何性质角度1已知离心率求渐近线方程【例3】已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为52，则C的渐近线方程为()A．y＝±14xB．y＝±13xC．y＝±12xD．y＝±x【解析】因为双曲线x2a2－y2b2＝1的焦点在x轴上，所以双曲线的渐近线方程为y＝±bax.又离心率为e＝ca＝a2＋b2a＝1＋ba2＝52，所以ba＝12，所以双曲线的渐近线方程为y＝±12x.【答案】C角度2已知渐近线求离心率【例4】若双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为()A．2B.3C.2D.233【解析】依题意，双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线方程为bx－ay＝0.因为直线bx－ay＝0被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，所以|2b|b2＋a2＝4－1，所以3a2＋3b2＝4b2，所以3a2＝b2，所以e＝1＋b2a2＝1＋3＝2.【答案】A角度3由离心率或渐近线求双曲线方程【例5】设双曲线x2a＋y2b＝1的一条渐近线为y＝－2x，且一个焦点与抛物线y＝14x2的焦点相同，则此双曲线的方程为()A.54x2－5y2＝1B．5y2－54x2＝1C．5x2－54y2＝1D.54y2－5x2＝1【解析】因为x2＝4y的焦点为(0，1)，所以双曲线的焦点在y轴上．因为双曲线的一条渐近线为y＝－2x，所以设双曲线的方程为y2－4x2＝λ(λ0)，即y2λ－x2λ4＝1，则λ＋λ4＝1，λ＝45，所以双曲线的方程为5y24－5x2＝1，故选D.【答案】D角度4利用渐近线与已知直线位置关系求离心率【例6】已知双曲线x2a2－y2b2＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为()A．(1，5)B．(1，5]C．(5，＋∞)D．[5，＋∞)【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为y＝bax，则由题意得ba2，∴e＝ca＝1＋ba21＋4＝5.即双曲线离心率的取值范围为(5，＋∞)．【答案】C【反思归纳】【答案】C跟踪训练3若a1，则双曲线x2a2－y2＝1的离心率的取值范围是()A．(2，＋∞)B．(2，2)C．(1，2)D．(1，2)【解析】依题意得，双曲线的离心率e＝1＋1a2，因为a1，所以e∈(1，2)，选C.【答案】5跟踪训练4双曲线x2a2－y29＝1(a0)的一条渐近线方程为y＝35x，则a＝____________．【解析】因为双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程为y＝±bax，所以a＝5.跟踪训练5已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为______________．【解析】双曲线的右顶点为A(a，0)，一条渐近线的方程为y＝bax，即bx－ay＝0，圆心A到此渐近线的距离d＝|ba－a×0|b2＋a2＝abc，因为∠MAN＝60°，圆的半径为b，所以b·sin60°＝abc，即3b2＝abc，所以e＝23＝233.【答案】233