2020届高考数学总复习 第九章 解析几何 9-5 椭圆课件 文 新人教A版

第5讲椭圆1．椭圆的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于_________(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的_______，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．常数焦点(2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a0，c0.①当2a|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；③当2a|F1F2|时，M点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)y2a2＋x2b2＝1(ab0)图形题组一常识题1．(教材改编)已知△ABC的顶点B，C在椭圆x24＋y212＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是________．【解析】△ABC的周长等于椭圆长轴长的2倍，所以△ABC的周长是43×2＝83.【答案】832．(教材改编)已知点P是椭圆x25＋y24＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为____________________．【解析】设P(x，y)，x0，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c＝1，则点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入x25＋y24＝1，得x＝±152，又x0，所以x＝152，所以点P的坐标为152，1或152，－1.【答案】152，1或152，－1【答案】83．(教材改编)已知椭圆x2m－2＋y210－m＝1的焦点在x轴上，焦距为4，则m等于__________．【解析】因为椭圆x2m－2＋y210－m＝1的焦点在x轴上，所以m－20，10－m0，m－210－m，解得6m10.因为焦距为4，所以m－2－10＋m＝4，解得m＝8.4．(教材改编)已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任意一点，点N(2，0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是________．【解析】点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|，所以|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6|MN|，由椭圆定义知，动点P的轨迹是椭圆．【答案】椭圆题组二常错题◆索引：椭圆的定义中易忽视2a|F1F2|这一条件；求椭圆的标准方程时易忽视焦点的位置；忽视椭圆中x，y的范围而导致求最值错误．5．已知条件甲：动点P到两定点A，B的距离之和为|PA|＋|PB|＝2a(a0且a为常数)．条件乙：P点的轨迹是以A，B为焦点，且长轴长为2a的椭圆．则甲是乙的__________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”)【解析】∵乙能推出甲，但甲推不出乙，∴甲是乙的必要不充分条件．【答案】必要不充分6．“2m6”是“方程x2m－2＋y26－m＝1表示椭圆”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”)【解析】若方程x2m－2＋y26－m＝1表示椭圆，则有m－20，6－m0，m－2≠6－m，∴2m6且m≠4.故“2m6”是“方程x2m－2＋y26－m＝1表示椭圆”的必要不充分条件．【答案】必要不充分7．已知椭圆的焦点在坐标轴上，中心在坐标原点，若直线x－2y＋2＝0经过该椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为__________．【解析】易知直线与坐标轴的交点分别为(0，1)，(－2，0)．由题意知，当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为x25＋y2＝1；当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为y25＋x24＝1.【答案】x25＋y2＝1或y25＋x24＝18．已知椭圆x29＋y24－k＝1的离心率为45，则k＝__________．【解析】当94－k0，即4k－5时，a＝3，c2＝9－(4－k)＝5＋k，∴5＋k3＝45，解得k＝1925；当94－k，即k－5时，a＝4－k，c2＝－k－5，∴－k－54－k＝45，解得k＝－21.故k的值为1925或－21.【答案】1925或－21考点一椭圆的定义及标准方程【例1】(1)过椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为()A．2B．4C．8D．22(2)一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为()A.x28＋y26＝1B.x216＋y26＝1C.x24＋y22＝1D.x28＋y24＝1【解析】(1)因为椭圆方程为4x2＋y2＝1，所以a＝1.根据椭圆的定义，知△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝4.(2)设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．由点P(2，3)在椭圆上知4a2＋3b2＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2×2c，ca＝12，又c2＝a2－b2，联立4a2＋3b2＝1，c2＝a2－b2，ca＝12得a2＝8，b2＝6，故椭圆方程为x28＋y26＝1.【答案】(1)B(2)A【反思归纳】跟踪训练1(1)已知动圆M过定点A(－3，0)并且与定圆B：(x－3)2＋y2＝64相切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.x216＋y27＝1B.x27＋y216＝1C.x216－y27＝1D.x27－y216＝1(2)已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1→⊥PF2→.若△PF1F2的面积为9，则b＝________．【解析】(1)因为点A在圆B内，所以过点A的圆与圆B只能内切，因为B(3，0)，所以|AB|＝6.所以|BM|＝8－|MA|，即|MB|＋|MA|＝8|AB|，所以动点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，设其方程为x2a2＋y2b2＝1，又a＝4，c＝3，b2＝7，所以方程为x216＋y27＝1.故选A.(2)由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，PF1→⊥PF2→，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，所以(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2，所以2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2.所以|PF1||PF2|＝2b2，所以S△PF1F2＝12|PF1||PF2|＝12×2b2＝b2＝9.所以b＝3.【答案】(1)A(2)3考点二椭圆的几何性质角度1求椭圆的离心率(或取值范围)【例2】(2018·全国Ⅱ卷)已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为()A.23B.12C.13D.14【解析】由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|F1F2|＝2c，因为△PF1F2为等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，所以|PF2|＝|F1F2|＝2c，所以|OF2|＝c，所以点P坐标为(c＋2ccos60°，2csin60°)，即点P(2c，3c)．因为点P在过点A，且斜率为36的直线上，所以3c2c＋a＝36，解得ca＝14，所以e＝14，故选D.【答案】D角度2根据椭圆的性质求值或范围【例3】(1)(2019·安庆模拟)P为椭圆x216＋y215＝1上任意一点，EF为圆N：(x－1)2＋y2＝4的任意一条直径，则PE→·PF→的取值范围是()A．[0，15]B．[5，15]C．[5，21]D．(5，21)(2)已知椭圆C：x24＋y23＝1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2，若点P是椭圆C上的动点，则F1P→·F2A→的最大值为()A.32B.332C.94D.154【解析】(1)PE→·PF→＝(PN→＋NE→)·(PN→＋NF→)＝(PN→＋NE→)·(PN→－NE→)＝PN→2－NE→2＝|PN→|2－4，因为a－c≤|PN→|≤a＋c，即3≤|PN→|≤5，所以PE→·PF→的范围是[5，21]．(2)由椭圆方程知c＝4－3＝1，所以F1(－1，0)，F2(1，0)．因为椭圆C上点A满足AF2⊥F1F2，则可设A(1，y0)，代入椭圆方程可得y20＝94，所以y0＝±32.设P(x1，y1)，则F1P→＝(x1＋1，y1)，F2A→＝(0，y0)，所以F1P→·F2A→＝y1y0.因为点P是椭圆C上的动点，所以－3≤y1≤3，F1P→·F2A→的最大值为332.【答案】(1)C(2)B【反思归纳】跟踪训练2(1)已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于45，则椭圆E的离心率的取值范围是()A.0，32B.0，34C.32，1D.34，1(2)椭圆C：x24＋y23＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在椭圆C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是()A.12，34B.12，1C.38，34D.34，1【解析】(1)不妨设左焦点为F2，连接AF2，BF2，由椭圆的对称性可知四边形AFBF2的对角线互相平分，所以四边形AFBF2为平行四边形，所以|AF|＋|BF|＝|BF2|＋|BF|＝2a＝4，所以a＝2，设M(0，b)，所以d＝45b≥45⇒b≥1，所以e＝1－b2a2＝1－b24≤1－14＝32，又e∈(0，1)，所以e∈0，32.(2)由题意，得A1(－2，0)，A2(2，0)，设P(x0，y0)(x0≠±2)，则有x204＋y203＝1，整理，得y20x20－4＝－34.因为kPA1＝y0x0＋2，kPA2＝y0x0－2，所以kPA1·kPA2＝y20x20－4＝－34，又kPA2∈[－2，－1]，所以kPA1∈38，34，故选C.【答案】(1)A(2)C考点三直线与椭圆的位置关系【例4】已知椭圆E的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，若椭圆右焦点到椭圆E的中心的距离是2.(1)求椭圆E的方程．(2)设直线l：y＝kx＋1(k≠0)与该椭圆交于不同的两点B，C，若坐标原点O到直线l的距离为32，求△BOC的面积．【解析】(1)由题意b＝1，c＝2，∴a2＝b2＋c2＝3，又∵椭圆E的焦点在x轴上，∴椭圆E的方程为x23＋y2＝1.(2)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，将直线方程与椭圆联立y＝kx＋1，x2＋3y2＝3，整理得(3k2＋1)x2＋6kx＝0，由原点O到直线l的距离为11＋k2＝32，得k2＝13，又|BC|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝1＋k236k23k2＋1＝2，∴S△BOC＝12×|BC|×32＝32，∴△BOC的面积为32.【反思归纳】跟踪训练3已知曲线C的方程是mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0)，且曲线过A24，22，B66，33两点，O为坐标原点．(1)求曲线C的方程．(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)是曲线C上两点，向量p＝(mx1，ny1)，q＝(mx2，ny2)，且p·q＝0，若直线MN过点0，32，求直线MN的斜率．【解析】(1)由题可知：18m＋12n＝1，16m＋13n＝1，解得m＝4，n＝1.∴曲线C的方程为y2＋4x2＝1.(2)设直线MN的方程为y＝kx＋32，代入椭圆方程y2＋