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第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系．_______⇔相交；______⇔相切；______⇔相离．drd＝rdr【答案】相交题组一常识题1．(教材改编)圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是________．【解析】由题意知，圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝|2×1－2－5|22＋1＝56，因此直线与圆相交．2．(教材改编)圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________．【解析】由x2＋y2－4＝0，x2＋y2－4x＋4y－12＝0，得x－y＋2＝0.又圆x2＋y2＝4的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为22＝2，所以所求弦长为24－2＝22.【答案】223．(教材改编)圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为____________．【解析】圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心坐标为(2，0)，半径为2，点P在圆上．设切线方程为y－3＝k(x－1)，即kx－y－k＋3＝0，则|2k－k＋3|k2＋1＝2，解得k＝33，∴切线方程为y－3＝33(x－1)，即x－3y＋2＝0.【答案】x－3y＋2＝0【答案】－1或44．(教材改编)如果圆C：(x－a)2＋(y－3)2＝5的一条切线的方程为y＝2x，那么a的值为____________．【解析】由题意知，圆心到直线的距离d＝|2a－3|4＋1＝5，∴a＝－1或4.题组二常错题◆索引：求圆的切线或弦长时易忽视切线斜率不存在的情况；两圆相切时易忽视分两圆内切与外切两种情况．5．已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相切，则(a＋b)2＝__________．【解析】圆C1的圆心坐标为(a，－2)，半径r1＝2，圆C2的圆心坐标为(－b，－2)，半径r2＝1，则圆心距为|a＋b|，两圆外切时|a＋b|＝2＋1＝3，两圆内切时|a＋b|＝2－1＝1，所以(a＋b)2＝9或1.【答案】9或1【答案】x－3＝0或3x－4y＋15＝06．过点(3，6)的直线被圆x2＋y2＝25截得的弦长为8，则这条直线的方程是__________________．【解析】圆心为(0，0)，半径r＝5，则圆心到弦的距离为25－16＝3.若直线斜率不存在，则直线的方程为x＝3；若直线斜率存在，设直线的方程为y－6＝k(x－3)，即kx－y－3k＋6＝0，则圆心到直线的距离为|0－0－3k＋6|k2＋1＝3，解得k＝34，故直线的方程为3x－4y＋15＝0.综上，所求直线的方程为x－3＝0或3x－4y＋15＝0.7．已知直线l：kx－y－3＝0与圆O：x2＋y2＝4交于A，B两点，且OA→·OB→＝2，则k＝________．【解析】圆O：x2＋y2＝4的圆心为(0，0)，半径为2，设OA→与OB→的夹角为θ，由OA→·OB→＝2，可得2×2×cosθ＝2，解得cosθ＝12，即θ＝π3，则圆心到直线的距离为2cosπ6＝3，可得|－3|1＋k2＝3，解得k＝±2.【答案】±2考点一直线与圆的位置关系【例1】(1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定(2)圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是________．【解析】(1)因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2＞1，从而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝|a·0＋b·0－1|a2＋b2＝1a2＋b2＜1，所以直线与圆相交．(2)法一：将直线方程代入圆方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k2－12(k2＋1)0，解得k∈(－3，3)．法二：圆心(0，0)到直线y＝kx＋2的距离d＝2k2＋1，直线与圆没有公共点的充要条件是d1，即2k2＋11，解得k∈(－3，3)．【答案】(1)B(2)k∈(－3，3)【互动探究】若将本例(1)的条件改为“点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1上”，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系如何？【解析】由点M在圆上，得a2＋b2＝1，所以圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝1a2＋b2＝1，则直线与圆O相切．【反思归纳】跟踪训练1直线xsinθ＋ycosθ＝1＋cosθ与圆x2＋(y－1)2＝12的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能【解析】因为圆心到直线的距离d＝|cosθ－1－cosθ|sin2θ＋cos2θ＝122，所以直线与圆相离．【答案】A跟踪训练2(2019·聊城模拟)圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数为()A．1B．2C．3D．4【解析】因为圆心到直线的距离为|9＋12－11|5＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个．【答案】C考点二圆的切线与弦长问题角度1求圆的切线方程【例2】过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为()A．2x＋y－5＝0B．2x＋y－7＝0C．x－2y－5＝0D．x－2y－7＝0【解析】因为过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，所以点(3，1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，因为圆心与切点连线的斜率k＝1－03－1＝12，所以切线的斜率为－2，则圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.故选B.【答案】B角度2求弦长及切线长【例3】(1)若a，b，c是△ABC三个内角的对边，且csinC＝3asinA＋3bsinB，则直线l：ax－by＋c＝0被圆O：x2＋y2＝12所截得的弦长为()A．46B．26C．6D．5(2)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝__________．【解析】(1)因为asinA＝bsinB＝csinC.故由csinC＝3asinA＋3bsinB可得c2＝3(a2＋b2)．圆O：x2＋y2＝12的圆心为O(0，0)，半径为r＝23，圆心O到直线l的距离d＝|c|a2＋b2＝3，所以直线l被圆O所截得的弦长为2r2－d2＝2（23）2－（3）2＝6，故选C.(2)由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，所以圆心C(2，1)在直线x＋ay－1＝0上，所以2＋a－1＝0，所以a＝－1，所以A(－4，－1)．所以|AC|2＝36＋4＝40.又r＝2，所以|AB|2＝40－4＝36.所以|AB|＝6.【答案】(1)C(2)6角度3由弦长及切线问题求参数【例4】设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝23，则圆C的面积为________．【解析】圆C的方程可化为x2＋(y－a)2＝a2＋2，可得圆心的坐标为C(0，a)，半径r＝a2＋2，所以圆心到直线x－y＋2a＝0的距离为|－a＋2a|2＝|a|2，所以|a|22＋(3)2＝(a2＋2)2，解得a2＝2，所以圆C的半径为2，所以圆C的面积为4π.【答案】4π【反思归纳】跟踪训练3(2019·葫芦岛模拟)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为()A.3B．2C.6D．23【解析】过原点且倾斜角为60°的直线方程为3x－y＝0，圆x2＋(y－2)2＝4的圆心(0，2)到直线3x－y＝0的距离为d＝|3×0－2|3＋1＝1，因此弦长为2R2－d2＝24－1＝23.【答案】D跟踪训练4(2019·邯郸模拟)由直线y＝x＋1上的一点向圆x2－6x＋y2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为()A．1B．22C.7D．3【解析】切线长的最小值在直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3，0)到直线的距离为d＝|3－0＋1|2＝22，圆的半径为1，故切线长的最小值为d2－r2＝8－1＝7.【答案】C跟踪训练5已知圆C的圆心在坐标原点，且与直线l1：x－y－22＝0相切．(1)求直线l2：4x－3y＋5＝0被圆C所截得的弦AB的长．(2)过点G(1，3)作两条与圆C相切的直线，切点分别为M，N，求直线MN的方程．(3)若与直线l1垂直的直线l与圆C交于不同的两点P，Q，若∠POQ为钝角，求直线l在y轴上的截距的取值范围．【解析】(1)由题意得，圆心(0，0)到直线l1：x－y－22＝0的距离为圆的半径，即r＝222＝2，所以圆C的标准方程为x2＋y2＝4，所以圆心到直线l2的距离d＝542＋（－3）2＝1，所以|AB|＝222－12＝23.(2)因为点G(1，3)，所以|OG|＝12＋32＝10，|GM|＝|OG|2－|OM|2＝6，所以，以G点为圆心，线段GM长为半径的圆G的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝6.①又圆C的方程为x2＋y2＝4，②由①－②得直线MN的方程为x＋3y－4＝0.(3)设直线l的方程为y＝－x＋b，联立x2＋y2＝4得2x2－2bx＋b2－4＝0.设直线l与圆C的交点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)．由Δ＝(－2b)2－8(b2－4)0，得b28，x1＋x2＝b，x1·x2＝b2－42.③因为∠POQ为钝角，所以OP→·OQ→0，即满足x1x2＋y1y20，且OP→与OQ→不是反向共线，又y1＝－x1＋b，y2＝－x2＋b，所以x1x2＋y1y2＝2x1x2－b(x1＋x2)＋b20.④由③④得b24，满足Δ0，即－2b2.当OP→与OQ→反向共线时，直线y＝－x＋b过原点，此时b＝0，不满足题意．故直线l在y轴上的截距的取值范围是－2b2，且b≠0.考点三圆与圆的位置关系【例5】(1)已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，则ab的最大值为()A.62B.32C.94D．23(2)两圆C1：x2＋y2＋4x＋y＋1＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0相交于A，B两点，则|AB|＝____________．【解析】(1)由圆C1与圆C2相外切，可得（a＋b）2＋（－2＋2）2＝2＋1＝3，即(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝9，根据基本不等式可知9＝a2＋2ab＋b2≥2ab＋2ab＝4ab，即ab≤94，当且仅当a＝b时，等号成立．故选C.(2)由(x2＋y2＋4x＋y＋1)－(x2＋y2＋2x＋2y＋1)＝0得弦AB所在直线方程为2x－y＝0.圆C2的方程即为(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，圆心C2(－1，－1)，半径r2＝1.圆心C2到直线AB的距离d＝|2×（－1）－（－1）|5＝15.所以|AB|＝2r22－d2＝21－15＝455.【答案】(1)C(2)455【反思归纳】【答案】1跟踪训练6若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a0)的公共弦长为23，则a＝________．【解析】方程x2＋y2＋2ay－6＝0与x2＋y2＝4.两式相减得：2ay＝2，则y＝1a.由已知条件22－（3）2＝1a，即a＝1.