搜索
第3讲圆的方程1．圆的定义及方程2.点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则___________________．(2)若M(x0，y0)在圆上，则___________________．(3)若M(x0，y0)在圆内，则____________________．(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2题组一常识题1．(教材改编)圆x2＋y2－ax＋2ay＝0(a≠0)的圆心坐标是________，半径r＝________．【解析】根据圆的一般方程，可得圆的圆心坐标为a2，－a，半径为52|a|.【答案】a2，－a52|a|【答案】－1a12．(教材改编)点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是____________.【解析】因为点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，所以点(1，1)到圆心(a，－a)的距离小于2，即（1－a）2＋[1－（－a）]22，两边平方得(1－a)2＋(a＋1)24，化简得a21，解得－1a1.【答案】x2＋y2－4x＋4y－12＝03．(教材改编)已知点A(－2，0)，B(6，－4)，则以线段AB为直径的圆的一般方程为______________．【解析】线段AB的中点(2，－2)是圆心，半径r＝12|AB|＝12（－2－6）2＋（0＋4）2＝25，所以圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝20，则一般方程为x2＋y2－4x＋4y－12＝0.【答案】x2＋y2－2x＋2y－6＝04．(教材改编)已知点P与两个定点O(0，0)，A(－3，3)的距离的比值为12，则点P的轨迹方程是______________．【解析】依题意得|PO||PA|＝12.设P(x，y)，则x2＋y2（x＋3）2＋（y－3）2＝12，整理得x2＋y2－2x＋2y－6＝0.5．(教材改编)已知圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，点P在x轴上，点P到圆C上的点的距离最小时，点P的坐标是____________．【解析】将圆的方程化为(x－2)2＋(y－3)2＝1，在直角坐标系中作出圆C(图略)，可知点P的坐标是(2，0)．【答案】(2，0)题组二常错题◆索引：忽视表示圆的条件D2＋E2－4F0；遗漏方程的另一个解；忽略圆的方程中变量的取值范围．6．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围是______________．【解析】方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则1＋1－4m0，∴m12.【答案】m127．半径为2，且与两坐标轴都相切的圆的方程为____________．【解析】由题意知，圆心有四种情况，即圆心坐标分别为(2，2)，(－2，2)，(－2，－2)，(2，－2)，所以圆的方程为(x±2)2＋(y±2)2＝4.【答案】(x±2)2＋(y±2)2＝48．已知实数x，y满足(x－2)2＋y2＝4，则3x2＋4y2的最大值为____________．【解析】由(x－2)2＋y2＝4得y2＝4x－x2≥0，可得0≤x≤4，所以3x2＋4y2＝3x2＋4(4x－x2)＝－x2＋16x＝－(x－8)2＋64(0≤x≤4)，所以当x＝4时，3x2＋4y2取得最大值48.【答案】48考点一求圆的方程【例1】根据下列条件，求圆的方程．经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6.【解析】设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将P，Q两点的坐标分别代入得【反思归纳】跟踪训练1(1)以点(3，－1)为圆心，并且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程是()A．(x－3)2＋(y＋1)2＝1B．(x－3)2＋(y－1)2＝1C．(x＋3)2＋(y－1)2＝2D．(x－3)2＋(y＋1)2＝2【解析】设圆的方程是(x－3)2＋(y＋1)2＝r2.因为直线3x＋4y＝0与圆相切，所以圆的半径r＝|9－4|32＋42＝1，因此，所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1.故选A.【答案】A【解析】设点C为圆心，因为点C在直线x－2y－3＝0上，所以可设点C的坐标为(2a＋3，a)．又该圆经过A，B两点，所以|CA|＝|CB|，即（2a＋3－2）2＋（a＋3）2＝（2a＋3＋2）2＋（a＋5）2，解得a＝－2，所以圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝10.故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.(2)求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程．考点二与圆有关的轨迹问题【例2】已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程．(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．【解析】(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.【反思归纳】跟踪训练2已知点A(3，0)，点P是圆x2＋y2＝1(x≠1)上的一点，∠AOP的平分线交AP于Q，求点Q的轨迹方程．【解析】设Q点坐标为(x，y)，P点坐标为(x′，y′)．∵OQ是∠AOP的平分线，∴|AO||OP|＝|AQ||QP|.又|AO|＝3，|OP|＝1，∴|AQ||QP|＝3，即AQ→＝3QP→，∴(x－3，y)＝3(x′－x，y′－y)，考点三与圆有关的最值问题角度1斜率型、截距型、距离型最值问题【例3】已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则yx的最大值为________，最小值为________．【解析】原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆.yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值(如图)，此时|2k－0|k2＋1＝3，解得k＝±3，所以yx的最大值为3，最小值为－3.【答案】3－3【互动探究】1．在例3条件下，求y－x的最大值．【解析】原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示圆心为(2，0)，半径r＝3的圆．设y－x＝b，y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时|2－0＋b|2＝3，解得b＝－2±6.所以y－x的最大值为－2＋6.2．在例3条件下，求x2＋y2的最大值和最小值．【解析】x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图)．又因为圆心到原点的距离为（2－0）2＋（0－0）2＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－43.角度2对称型最值问题【例4】设点M(x0，1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．【解析】由题意可知M在直线y＝1上运动，设直线y＝1与圆x2＋y2＝1相切于点P(0，1)．当x0＝0即点M与点P重合时，显然圆上存在点N(±1，0)符合要求；当x0≠0时，过M作圆的切线，切点之一为点P，此时对于圆上任意一点N，都有∠OMN≤∠OMP，故要存在∠OMN＝45°，只需∠OMP≥45°.特别地，当∠OMP＝45°时，有x0＝±1.结合图形可知，符合条件的x0的取值范围为[－1，1]．【答案】[－1，1]【反思归纳】跟踪训练3如果实数x，y满足圆(x－2)2＋y2＝1，那么y＋3x－1的取值范围是________．【解析】(x，y)在圆上，y＋3x－1表示的是圆上的点(x，y)与点(1，－3)连线的斜率，画出图象，求出过点(1，－3)与圆相切的一条切线的斜率不存在，另一条切线斜率设为k，切线方程为kx－y－3－k＝0，圆心到直线的距离等于半径，即|k－3|1＋k2＝1，k＝43，故取值范围是43，＋∞.【答案】43，＋∞跟踪训练4(2018·全国Ⅲ卷)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是()A．[2，6]B．[4，8]C．[2，32]D．[22，32]【解析】圆心(2，0)到直线的距离d＝|2＋0＋2|2＝22，所以点P到直线的距离d1∈[2，32]．根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为A(－2，0)，B(0，－2)，所以|AB|＝22，所以△ABP的面积S＝12|AB|d1＝2d1.因为d1∈[2，32]，所以S∈[2，6]，即△ABP面积的取值范围是[2，6]．【答案】A