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第2讲两条直线的位置关系1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔___________；k1＝k2②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.(2)两条直线垂直①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔_____________________；②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.k1·k2＝－12．两条直线的交点的求法直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，则l1与l2的交点坐标就是方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的解．3．三种距离【知识拓展】三种常见的直线系方程(1)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．(2)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋λ＝0.(3)过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．【解析】解方程组所以直线2x－y＝－10与y＝x＋1的交点坐标为(－9，－8)，代入y＝ax－2，得－8＝a·(－9)－2，所以a＝23.【答案】232．(教材改编)已知点A(3，2)和B(－1，4)到直线ax＋y＋1＝0的距离相等，则a的值为________．【解析】由点到直线的距离公式可知|3a＋2＋1|a2＋1＝|－a＋4＋1|a2＋1，解得a＝－4或12.【答案】－4或123．(教材改编)若直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则a＝________．【解析】由两直线垂直的充要条件，得(3a＋2)(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0，解得a＝0或a＝1.【答案】0或1【答案】0或24．(教材改编)已知点M(3，2)，N(－1，4)，P(x，1)，若∠MPN＝90°，则x＝________．【解析】由题可知MP⊥NP，即kMPkNP＝－1，则2－13－x·4－1－1－x＝－1，即x2－2x＝0，解得x＝0或x＝2.题组二常错题◆索引：判断两条直线的位置关系忽视斜率是否存在；求两平行线间的距离忽视两直线的系数的对应关系；两直线平行解题时忽略检验两直线重合的情况；求距离的最小值忽视对称性．5．若直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与直线(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直，则a＝________．【解析】由两直线垂直的充要条件，得(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0⇒a2＝1，即a＝±1.【答案】±16．两条平行直线3x－4y－3＝0和mx－8y＋5＝0之间的距离是________________．【解析】由直线3x－4y－3＝0和mx－8y＋5＝0平行，得m＝6，则6x－8y＋5＝0⇒3x－4y＋52＝0，则两条平行直线之间的距离d＝－3－5232＋（－4）2＝1110.【答案】1110【答案】17．若直线l1：x＋y－1＝0与直线l2：x＋a2y＋a＝0平行，则实数a＝________．【解析】直线l1的斜率k1＝－1，直线l2的斜率k2＝－1a2.∵l1∥l2，∴a2＝1，∴a＝1或a＝－1(此时l1与l2重合，舍去)．8．点P为x轴上的一点，A(1，1)，B(3，4)，则|PA|＋|PB|的最小值是________．【解析】点A(1，1)关于x轴的对称点为A′(1，－1)，则|PA|＋|PB|的最小值是线段A′B的长，即为29.【答案】29考点一平行与垂直问题【例1】(2019·金华十校模拟)“直线ax－y＝0与直线x－ay＝1平行”是“a＝1”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】由直线ax－y＝0与x－ay＝1平行，得a2＝1，即a＝±1，所以“直线ax－y＝0与x－ay＝1平行”是“a＝1”的必要不充分条件．【答案】B【反思归纳】跟踪训练1(1)“m＝3”是“直线l1：2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0与直线l2：(m－3)x＋2y－5＝0垂直”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2019·宁夏模拟)若直线l1：x＋2my－1＝0与l2：(3m－1)x－my－1＝0平行，则实数m的值为________．【解析】(1)由l1⊥l2，得2(m＋1)(m－3)＋2(m－3)＝0，∴m＝3或m＝－2，∴m＝3是l1⊥l2的充分不必要条件．(2)因为直线l1：x＋2my－1＝0与l2：(3m－1)x－my－1＝0平行，则斜率相等或者斜率不存在，－12m＝3m－1m或者m＝0，∴m＝16或0.【答案】(1)A(2)0或16考点二交点与距离问题【例2】(1)求经过两条直线l1：x＋y－4＝0和l2：x－y＋2＝0的交点，且与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为____________．(2)直线l过点P(－1，2)且到点A(2，3)和点B(－4，5)的距离相等，则直线l的方程为____________．【解析】∴l1与l2的交点坐标为(1，3)．设与直线2x－y－1＝0垂直的直线方程为x＋2y＋c＝0，则1＋2×3＋c＝0，∴c＝－7.∴所求直线方程为x＋2y－7＝0.(2)法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由题意知|2k－3＋k＋2|k2＋1＝|－4k－5＋k＋2|k2＋1，即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－13，∴直线l的方程为y－2＝－13(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．法二：当AB∥l时，有k＝kAB＝－13，直线l的方程为y－2＝－13(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当l过AB中点时，AB的中点为(－1，4)，∴直线l的方程为x＝－1.故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.【答案】(1)x＋2y－7＝0(2)x＋3y－5＝0或x＝－1【反思归纳】跟踪训练2(1)(2019·河北省“五个一名校联盟”质检)若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为()A.2B.823C.3D.833(2)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围为______________．【解析】(1)因为l1∥l2，所以1a－2＝a3≠62a，所以解得a＝－1，所以l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋23＝0，所以l1与l2之间的距离d＝6－232＝823，故选B.(2)由题意得，点P到直线的距离为|4×4－3×a－1|5＝|15－3a|5.∴|15－3a|5≤3，即|15－3a|≤15，解得0≤a≤10，所以a的取值范围是[0，10]．【答案】(1)B(2)[0，10]考点三对称问题角度1点关于点的对称【例3】过点P(0，1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．【解析】设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，所以由两点式得直线l的方程为x＋4y－4＝0.角度2点关于线的对称【例4】若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m，n)重合，则m＋n＝__________．【解析】由题可知纸的折痕应是点(0，2)与点(4，0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7，3)与点(m，n)连线的中垂线，于是【答案】345角度3直线关于直线的对称【例5】直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是()A．x－2y＋3＝0B．x－2y－3＝0C．x＋2y＋1＝0D．x＋2y－1＝0【解析】设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，由点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，则2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.【答案】A角度4对称问题与物理光学中的对称思想【例6】在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P为边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P.若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于()A．2B．1C.83D.43【解析】以A为原点，AB为x轴，AC为y轴建立直角坐标系如图所示．则A(0，0)，B(4，0)，C(0，4)．设△ABC的重心为D，则D点坐标为43，43.设P点坐标为(m，0)，则P点关于y轴的对称点P1为(－m，0)，因为直线BC方程为x＋y－4＝0，所以P点关于BC的对称点P2为(4，4－m)，根据光线反射原理，P1，P2均在QR所在直线上，∴kP1D＝kP2D，即4343＋m＝43－4＋m43－4，解得m＝43或m＝0.当m＝0时，P点与A点重合，故舍去．∴m＝43.【答案】D【例7】已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2，0)，B(－2，－4)．(1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小．(2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大．【解析】(1)设A关于直线l的对称点为A′(m，n)，则故A′(－2，8)．P为直线l上的一点，则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点，解故所求的点P的坐标为(－2，3)．【反思归纳】