2020届高考数学总复习 第二章 函数的概念与基本初等函数 2-8 函数与方程课件 文 新人教A版

第8讲函数与方程1．函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使_________成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与______有交点⇔函数y＝f(x)有______．f(x)＝0x轴零点(3)零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_______________，那么函数y＝f(x)在区间____________内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得______________．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系f(a)·f(b)＜0(a，b)f(x0)＝0Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点_________，____________________无交点零点个数210(x1，0)(x2，0)(x1，0)【知识拓展】有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．题组一常识题1．(教材改编)函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点的个数是________．【解析】函数f(x)单调递增，且f(2)0，f(3)0，故存在唯一零点．【答案】12．(教材改编)如果函数f(x)＝ex－1＋4x－4的零点在区间(n，n＋1)(n为整数)内，则n＝________．【解析】函数f(x)单调递增，且f(0)0，f(1)0，故其零点在区间(0，1)内，则n＝0.【答案】03．(教材改编)函数f(x)＝x3－2x2＋x的零点是________．【解析】由f(x)＝x3－2x2＋x＝0，解得x1＝0，x2＝1，所以函数的零点是0，1.【答案】0，14.(教材改编)若函数f(x)＝x2－4x＋a存在两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．【解析】Δ＝16－4a0，解得a4.【答案】(－∞，4)题组二常错题◆索引：错用零点存在性定理；误解函数零点的定义；忽略限制条件；二次函数在R上无零点的充要条件(判别式小于零)．【解析】函数的定义域为{x|x≠0}，当x0时，f(x)0，当x0时，f(x)0，所以函数没有零点．【答案】05．函数f(x)＝x＋1x的零点个数是________．6．函数y＝x2－7x＋6的零点是________．【解析】令y＝0，得x1＝1，x2＝6，所以函数的零点是1，6.【答案】1，67．若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间(0，4)上存在零点，则实数m的取值范围是________．【解析】二次函数f(x)图象的对称轴方程为x＝1.若在区间(0，4)上存在零点，只需f(1)≤0且f(4)0即可，即－1＋m≤0且8＋m0，解得－8m≤1.【答案】(－8，1]8．若二次函数f(x)＝x2＋kx＋k在R上无零点，则实数k的取值范围是________．【解析】Δ＝k2－4k0，解得0k4.【答案】(0，4)考点一函数零点所在区间的判断【例1】函数f(x)＝lnx－2x的零点所在的大致区间是()A．(1，2)B．(2，3)C．(1，e)和(3，4)D．(e，＋∞)【解析】因为f′(x)＝1x＋2x20(x0)，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(3)＝ln3－230，f(2)＝ln2－10，所以f(2)·f(3)0，所以f(x)唯一的零点在区间(2，3)内．故选B.【答案】B【反思归纳】跟踪训练1(2019·河南十所名校三联)设函数f(x)＝13x－lnx，则函数y＝f(x)()A．在区间1e，1，(1，e)内均有零点B．在区间1e，1，(1，e)内均无零点C．在区间1e，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D．在区间1e，1内无零点，在区间(1，e)内有零点【解析】法一：(1)当x∈1e，e时，函数图象是连续的，且f′(x)＝13－1x＝x－33x＜0，所以函数f(x)在1e，e上单调递减．又f1e＝13e－ln1e＞0，f(1)＝13＞0，f(e)＝13e－lne＜0，所以函数有唯一的零点在区间(1，e)内．故选D.法二：令f(x)＝0得13x＝lnx，作出函数y＝13x和y＝lnx的图象，显然y＝f(x)在1e，1内无零点，在(1，e)内有零点．故选D.【答案】D考点二函数零点个数问题【例2】(1)函数f(x)＝|x－2|－lnx在定义域内的零点的个数为()A．0B．1C．2D．3(2)函数f(x)＝lnx－x2＋2x，x＞0，4x＋1，x≤0，的零点个数是________．【解析】(1)由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)．在同一直角坐标系中画出函数y＝|x－2|(x＞0)，y＝lnx(x＞0)的图象，如图所示：由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.(2)当x＞0时，作函数y＝lnx和y＝x2－2x的图象，由图知，当x＞0时，f(x)有2个零点；当x≤0时，由f(x)＝0得x＝，综上，f(x)有3个零点．【答案】(1)C(2)3【反思归纳】跟踪训练2函数f(x)＝ex－x－2，x≥0x2＋2x，x0的零点个数是()A．0B．1C．2D．3【解析】当x0时，令f(x)＝0，即x2＋2x＝0，解得x＝－2，或x＝0(舍去)．所以当x0时，只有一个零点；当x≥0时，f(x)＝ex－x－2，而f′(x)＝ex－1，显然f′(x)≥0，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，又f(0)＝e0－0－2＝－10，f(2)＝e2－40，所以当x≥0时，函数f(x)有且只有一个零点．综上，函数f(x)只有2个零点，故选C.【答案】C跟踪训练3(2018·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝cos3x＋π6在[0，π]的零点个数为________．【解析】由题意知，cos3x＋π6＝0，所以3x＋π6＝π2＋kπ，k∈Z，所以x＝π9＋kπ3，k∈Z，当k＝0时，x＝π9；当k＝1时，x＝4π9；当k＝2时，x＝7π9，均满足题意，所以函数f(x)在[0，π]的零点个数为3.【答案】3考点三函数零点的应用【例3】(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ex，x≤0lnx，x0，g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A．[－1，0)B．[0，＋∞)C．[－1，＋∞)D．[1，＋∞)(2)(分离参数法)若函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1，1]有零点，则实数a的取值范围是________．【解析】(1)函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C.(2)因为函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1，1]有零点，所以方程4x－2x－a＝0在[－1，1]上有解，即方程a＝4x－2x在[－1，1]上有解．方程a＝4x－2x可变形为a＝2x－122－14，因为x∈[－1，1]，所以2x∈12，2，所以2x－122－14∈－14，2.所以实数a的取值范围是－14，2.【答案】(1)C(2)－14，2【反思归纳】跟踪训练4(2019·新乡模拟)若函数f(x)＝log2(x＋a)与g(x)＝x2－(a＋1)x－4(a＋5)存在相同的零点，则a的值为()A．4或－52B．4或－2C．5或－2D．6或－52【解析】g(x)＝x2－(a＋1)x－4(a＋5)＝(x＋4)[x－(a＋5)]，令g(x)＝0，得x＝－4或x＝a＋5，则f(－4)＝log2(－4＋a)＝0或f(a＋5)＝log2(2a＋5)＝0，解得a＝5或a＝－2.【答案】C跟踪训练5(2019·绵阳模拟)函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是()A．(1，3)B．(1，2)C．(0，3)D．(0，2)【解析】由题意，知函数f(x)在(1，2)上单调递增，又函数一个零点在区间(1，2)内，所以f（1）0，f（2）0，即－a0，4－1－a0，解得0a3，故选C.【答案】C跟踪训练6(2019·漳州八校联考)已知函数f(x)＝2x－1，x0，x2＋x，x≤0，若函数g(x)＝f(x)－m有三个零点，则实数m的取值范围是________．【解析】令g(x)＝f(x)－m＝0，得f(x)＝m，则函数g(x)＝f(x)－m有三个零点等价于函数f(x)与y＝m的图象有三个不同的交点，作出函数f(x)的图象如图：当x≤0时，f(x)＝x2＋x＝x＋122－14≥－14，若函数f(x)与y＝m的图象有三个不同的交点，则－14m≤0，即实数m的取值范围是－14，0.【答案】－14，0