2020届高考数学总复习 第二章 函数的概念与基本初等函数 2-5 指数与指数函数课件 文 新人教A

第5讲指数与指数函数1．根式的性质(1)(na)n＝____．(2)当n为奇数时，nan＝___．(3)当n为偶数时，nan＝|a|＝a（a≥0），－a（a＜0）.aa(4)负数的偶次方根___________．(5)零的任何次方根_____________．2．有理指数幂(1)分数指数幂①正分数指数幂：amn＝nam(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；②负分数指数幂：a－mn＝1amn＝1nam(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；无意义都等于零③0的正分数指数幂等于_____，0的负分数指数幂___________．(2)有理数指数幂的运算性质①ar·as＝__________(a＞0，r，s∈Q)；②(ar)s＝_____(a＞0，r，s∈Q)；③(ab)r＝_______(a＞0，b＞0，r∈Q)．0没有意义ar＋sarsarbr3．指数函数的图象与性质题组一常识题1．(教材改编)若x＋x－1＝3，则x2－x－2＝________．【解析】把x＋x－1＝3两边平方，可得x2＋x－2＝7，则(x－x－1)2＝x2－2＋x－2＝5，所以x－x－1＝±5，所以x2－x－2＝(x＋x－1)(x－x－1)＝±35.【答案】±352.(教材改编)已知2x－123－x，则x的取值范围是________．【解析】根据指数函数性质，得x－13－x，解得x2，所以x的取值范围是(－∞，2)．【答案】(－∞，2)3．(教材改编)函数y＝ax－1＋2(a0且a≠1)的图象恒过定点________．【解析】令x－1＝0，得x＝1，此时y＝a0＋2＝3，所以函数图象恒过定点(1，3)．【答案】(1，3)【答案】②4．(教材改编)下列所给函数中值域为(0，＋∞)的是________．(填序号)①y＝－5x，②y＝131－x，③y＝12x－1，④y＝1－2x【解析】对于②，∵1－x∈R，∴y＝131－x的值域是(0，＋∞)；①的值域为(－∞，0)；③的值域为[0，＋∞)；④的值域为[0，1)．题组二常错题◆索引：忽略n的范围导致式子nan(a∈R)化简出错；不能正确理解指数函数的概念致错；指数函数问题时刻注意底数的两种情况；复合函数问题隐含指数函数值域大于零的情况．5．计算3（1＋2）3＋4（1－2）4＝________．【解析】3（1＋2）3＋4（1－2）4＝1＋2＋|1－2|＝22.【答案】22【答案】26．若函数f(x)＝(a2－3)·ax为指数函数，则a＝________．【解析】由指数函数的定义可得a2－3＝1，a＞0，a≠1，解得a＝2.7．若函数f(x)＝ax在[－1，1]上的最大值为2，则a＝________．【解析】若a1，则f(x)max＝f(1)＝a＝2；若0a1，则f(x)max＝f(－1)＝a－1＝2，得a＝12.【答案】2或128．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)满足f(1－x)＝f(1＋x)，则f(2x)与f(3x)的大小关系是________．【解析】∵f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称．由a0知，f(x)图象的开口向上．当x0时，2x1，3x1，2x3x，且f(x)为减函数，故f(2x)f(3x)；当x0时，2x1，3x1，3x2x，且f(x)为增函数，故f(3x)f(2x)；当x＝0时，f(3x)＝f(2x)．故f(3x)≥f(2x)．【答案】f(3x)≥f(2x)考点一指数的运算【例1】a3a·5a4(a＞0)的值是________．【解析】a3a·5a4＝a3a12·a45＝a3－12－45＝a1710.【答案】a1710【例2】计算：－278－23＋0.002－12－10(5－2)－1＋π0＝________．【解析】原式＝－32－2＋50012－10（5＋2）（5－2）（5＋2）＋1，＝49＋105－105－20＋1＝－1679.【答案】－1679【例3】(2019·兰州模拟)化简：a43－8a13b4b23＋23ab＋a23÷a－23－23ba×a·3a25a·3a＝________．(a＞0)【解析】原式＝a13（a13）3－（2b13）3（a13）2＋a13·（2b13）＋（2b13）2÷a13－2b13a×（a·a23）12（a12·a13）15＝a13(a13－2b13)×aa13－2b13×a56a16＝a2.【答案】a2【反思归纳】考点二指数函数的图象与应用【例4】(1)函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是()(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．【解析】(1)f(x)＝1－e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，又e|x|≥1，∴f(x)≤0.符合条件的图象只有A.(2)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可知，如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1]．【答案】(1)A(2)[－1，1]【反思归纳】跟踪训练1(1)已知实数a，b满足等式2018a＝2019b，下列五个关系式：①0ba；②ab0；③0ab；④ba0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有()A．1个B．2个C．3个D．4个(2)方程2x＝2－x的解的个数是________．【解析】(1)如图，观察易知，a，b的关系为ab0或0ba或a＝b＝0.(2)方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数的图象(如图)．由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．【答案】(1)B(2)1考点三指数函数的性质与应用角度1比较指数式的大小【例5】下列各式比较大小正确的是()A．1.72.5＞1.73B．0.6－1＞0.62C．0.8－0.1＞1.250.2D．1.70.3＜0.93.1【解析】A中，因为函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5＜3，所以1.72.5＜1.73.B中，因为y＝0.6x在R上是减函数，－1＜2，所以0.6－1＞0.62.C中，因为0.8－1＝1.25，所以问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．因为y＝1.25x在R上是增函数，0.1＜0.2，所以1.250.1＜1.250.2，即0.8－0.1＜1.250.2.D中，因为1.70.3＞1，0＜0.93.1＜1，所以1.70.3＞0.93.1.【答案】B角度2解简单的指数方程或不等式【例6】设函数f(x)＝12x－7，x＜0，x，x≥0若f(a)＜1，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－3)B．(1，＋∞)C．(－3，1)D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)【解析】当a＜0时，不等式f(a)＜1可化为12a－7＜1，即12a＜8，即12a＜12－3，因为0＜12＜1，所以a＞－3，所以－3＜a＜0；当a≥0时，不等式f(a)＜1可化为a＜1，所以0≤a＜1.故a的取值范围是(－3，1)．故选C.【答案】C角度3探究指数型函数的性质【例7】函数y＝12－x2＋2x＋1的单调减区间为________．【解析】设u＝－x2＋2x＋1，∵y＝12u为减函数，∴函数y＝12－x2＋2x＋1的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，∴所求减区间为(－∞，1]．【答案】(－∞，1]【规律方法】跟踪训练2(1)已知函数f(x)＝3x－13x，则f(x)()A．是偶函数，且在R上是增函数B．是奇函数，且在R上是增函数C．是偶函数，且在R上是减函数D．是奇函数，且在R上是减函数(2)函数y＝14x－12x＋1在区间[－3，2]上的值域是________．【解析】(1)∵函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝3－x－13－x＝13x－3x＝－f(x)，∴函数f(x)是奇函数．∵函数y＝13x在R上是减函数，∴函数y＝－13x在R上是增函数．又∵y＝3x在R上是增函数，∴函数f(x)＝3x－13x在R上是增函数．故选B.(2)∵x∈[－3，2]，∴令t＝12x，则t∈14，8，故y＝t2－t＋1＝t－122＋34.当t＝12时，ymin＝34；当t＝8时，ymax＝57.故所求函数的值域为34，57.【答案】(1)B(2)34，57