2020届高考数学总复习 第二章 函数的概念与基本初等函数 2-4 二次函数与幂函数课件 文 新人教

第4讲二次函数与幂函数1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝_____________(a≠0)；顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为__________；零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．ax2＋bx＋c(h，k)(2)二次函数的图象与性质2.幂函数(1)定义：形如y＝_____(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)五种常见幂函数的图象与性质xα奇偶性_____________________________单调性____(－∞，0)减，__________________________________(0，＋∞)减公共点___________增(0，＋∞)增增增(－∞，0)减(1，1)奇偶奇非奇非偶奇【答案】(－∞，40]∪[160，＋∞)．1．(教材改编)若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5，20]上是单调函数，则实数k的取值范围是________．【解析】二次函数的对称轴方程是x＝k8，故只需k8≤5或k8≥20，即k≤40或k≥160，故所求实数k的取值范围是(－∞，40]∪[160，＋∞)．2．(教材改编)已知幂函数y＝f(x)的图象过点(2，2)，则函数f(x)＝________．【解析】设f(x)＝xα，则2＝2α，所以α＝12，故函数f(x)＝x12.【答案】x123.(教材改编)已知f(x)＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是________.【解析】通过二次函数的图象知m∈[1，2]．【答案】[1，2]4．(教材改编)若函数y＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的图象关于直线x＝1对称，则b＝________.【答案】6【解析】二次函数y＝x2＋(a＋2)x＋3的图象关于直线x＝1对称，说明二次函数图象的对称轴为直线x＝1，即－a＋22＝1，∴a＝－4.又f(x)是定义在[a，b]上的，即a，b关于直线x＝1也是对称的，∴a＋b2＝1，∴b＝6.题组二常错题◆索引：图象特征把握不准出错；二次函数的单调性理解不到位；幂函数的图象掌握不到位．5．如图，若a0，b0，则函数y＝ax2＋bx的大致图象是________(填序号)．【解析】函数图象的开口向下，对称轴方程为x＝－b2a0，且过原点，故大致图象是③.【答案】③【答案】＞6．设二次函数f(x)＝x2－x＋a(a0)，若f(m)0，则f(m－1)________(填“”“”或“＝”)0.【解析】f(x)＝x2－x＋a图象的对称轴为直线x＝12，且f(1)0，f(0)0，而f(m)0，∴m∈(0，1)，∴m－10，∴f(m－1)0.7．若函数y＝mx2＋x＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．【解析】当m＝0时，函数在给定区间上是增函数；当m≠0时，函数是二次函数，图象对称轴为x＝－12m≤－2，得m≤14，又m0，因此0m≤14.综上，0≤m≤14.【答案】0≤m≤148．已知当x∈(0，1)时，函数y＝xp的图象在直线y＝x的上方，则p的取值范围是________．【解析】当p0时，根据题意知p1，所以0p1；当p＝0时，函数为y＝1(x≠0)，符合题意；当p0时，函数y＝xp的图象过点(1，1)，在(0，＋∞)上函数为减函数，符合题意．综上所述，p的取值范围是(－∞，1)．【答案】(－∞，1)考点一幂函数的图象与性质【例1】(1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的图象是()(2)已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，则m＝()A．1B．2C．1或2D．3【解析】(1)令f(x)＝xα，则4α＝2，∴α＝12，∴f(x)＝x12.(2)∵幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，∴m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2.当m＝1时，幂函数f(x)＝x2为偶函数，满足条件．当m＝2时，幂函数f(x)＝x3为奇函数，不满足条件．故选A.【答案】(1)C(2)A【反思归纳】考点二二次函数的图象与性质角度1二次函数的图象【例2】已知函数f(x)＝ax2－x－c，且f(x)0的解集为(－2，1)，则函数y＝f(－x)的图象为()【解析】∵函数f(x)＝ax2－x－c，且f(x)0的解集为(－2，1)，∴－2，1是方程ax2－x－c＝0的两根．∴a＝－1，c＝－2，∴f(x)＝－x2－x＋2.∴函数y＝f(－x)＝－x2＋x＋2，可知其图象开口向下，与x轴的交点坐标为(－1，0)和(2，0)．故选D.【答案】D角度2二次函数的单调性与最值【例3】(1)若函数f(x)＝x2＋2ax＋3在区间[－4，6]上是单调函数，则实数a的取值范围为________．(2)若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m()A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关【解析】(1)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4，6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.(2)∵f(x)＝x2＋ax＋b＝x＋a22＋b－a24，对称轴为x＝－a2，下面分情况讨论：①若1－a2，即a－2时，f(x)max＝f(0)＝b，f(x)min＝f(1)＝a＋b＋1，此时M－m＝b－(a＋b＋1)＝－a－1；②若12－a2≤1，即－2≤a－1时，f(x)max＝f(0)＝b，f(x)min＝f－a2＝b－a24，此时M－m＝b－b－a24＝a24；③若0－a2≤12，即－1≤a0时，f(x)max＝f(1)＝a＋b＋1，f(x)min＝f－a2＝b－a24，此时M－m＝a＋b＋1－b－a24＝1＋a＋a24；④若－a2≤0，即a≥0时，f(x)max＝f(1)＝a＋b＋1，f(x)min＝f(0)＝b，此时M－m＝a＋b＋1－b＝1＋a.综上，M－m与a有关，但与b无关．故选B.【答案】(1)a≤－6或a≥4(2)B【互动探究】本例中(2)改为函数f(x)＝x2＋2x在区间[t，t＋1]上的最小值为8，则实数t的值为________．【解析】二次函数f(x)＝x2＋2x图象的对称轴方程为x＝－1.当t＋1－1，即t－2时，f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，故f(x)min＝f(t＋1)＝(t＋1)2＋2(t＋1)＝8，解得t＝－5或t＝1(舍去)；当t≤－1≤t＋1，即－2≤t≤－1时，f(x)min＝f(－1)＝－1≠8；当t－1时，f(x)在区间[t，t＋1]上单调递增，故f(x)min＝f(t)＝t2＋2t＝8，解得t＝2或t＝－4(舍去)．综上可知，t的值为－5或2.【答案】－5或2角度3与二次函数相关的恒成立问题【例4】(1)已知函数y＝log2ax2－ax＋1a.若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是________．(2)设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1x4的一切x值都有f(x)0，则实数a的取值范围是________．【解析】(1)(判别式法)∵a≠0，函数的定义域为R，则ax2－ax＋1a0恒成立，∴a0，Δ＝（－a）2－4a·1a0，解得0a2.∴实数a的取值范围是(0，2)．(2)法一(分类讨论法)：当a0时，f(x)＝ax－1a2＋2－1a，由f(x)0，x∈(1，4)得1a≤1，f（1）＝a－2＋2≥0或11a4，f1a＝2－1a0或1a≥4，f（4）＝16a－8＋2≥0，解得a≥1，a≥0或14a1，a12或a≤14，a≥38，所以a≥1或12a1或∅，即a12；当a0时，f（1）＝a－2＋2≥0，f（4）＝16a－8＋2≥0，解得a∈∅；当a＝0时，f(x)＝－2x＋2，因为f(1)＝0，f(4)＝－6，所以不符合题意．综上可得，实数a的取值范围是12，＋∞.法二(分离参数法)：由f(x)0，即ax2－2x＋20，x∈(1，4)，得a－2x2＋2x在(1，4)上恒成立．令g(x)＝－2x2＋2x＝－21x－122＋12，因为1x∈14，1，所以g(x)max＝g(2)＝12，所以要使f(x)0在(1，4)上恒成立，只要a12即可，故实数a的取值范围是12，＋∞.【答案】(1)(0，2)(2)12，＋∞【互动探究】本例(1)中，若函数的值域为R，其余条件不变，则实数a的取值范围是________．【解析】函数y＝log2ax2－ax＋1a的值域为R，则t＝ax2－ax＋1a能取遍所有正数，即其值域包含(0，＋∞)，故有a0Δ＝（－a）2－4a·1a≥0即a≥2，∴实数a的取值范围是[2，＋∞)．【答案】[2，＋∞)【反思归纳】跟踪训练设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，若函数的最小值为g(x)，求g(x)．【解析】∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，∴对称轴为直线x＝1，∵x＝1不一定在区间[－2，a]内，∴应进行讨论．当－2a≤1时，函数在[－2，a]上单调递减，则当x＝a时，y取得最小值，即ymin＝a2－2a；当a1时，函数在[－2，1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x＝1时，y取得最小值，即ymin＝－1.综上，g(x)＝a2－2a，－2a≤1，－1，a1.