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第4讲直线、平面垂直的判定与性质1．直线与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面α内的______________都垂直，则直线l与平面α垂直．(2)判定定理与性质定理任意一条直线文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的_______________都垂直，则该直线与此平面垂直⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线______⇒a∥b两条相交直线平行2.直线和平面所成的角(1)平面的一条斜线和它在___________________所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°.平面上的射影3．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的________________所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作____________的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．(3)范围[0，π]．两个半平面垂直于棱4．平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理与性质定理直二面角文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的________，则这两个平面垂直⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于_______的直线与另一个平面垂直⇒l⊥α垂线交线题组一常识题1．(教材改编)已知直线a，b和平面α，且a⊥α，b∥α，则a与b的位置关系为__________．【解析】因为a⊥α，所以a垂直于α内的任意直线．因为b∥α，所以b可以平移至α内，所以a⊥b.【答案】a⊥b2．(教材改编)给出下列条件：①l与平面α内的两条直线垂直；②l与平面α内的无数条直线垂直；③l与平面α内的某一条直线垂直；④l与平面α内的任意一条直线垂直．其中能判定直线l⊥平面α的有__________(填序号)．【解析】只有④能满足直线l与平面α内的两条相交直线垂直，故④满足题意．【答案】④3．(教材改编)若PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则所形成的平面中一定互相垂直的平面有________对．【解析】如图所示，由于PD⊥平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PDC.故一定互相垂直的平面有7对．【答案】74．(教材改编)在三棱锥PABC中，点P在平面ABC中的射影为点O，若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心．【解析】如图所示，连接OA，OB，OC，OP.因为PA＝PB＝PC，PO＝PO＝PO，所以Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．【答案】外题组二常错题◆索引：证明线面垂直时，易忽视平面内两条直线为相交直线这一条件；面面垂直的判定中找不到哪个面和哪条线垂直；注意排除由平面到空间的思维定式的影响．5．“直线a与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面α垂直”的__________条件．【解析】根据直线与平面垂直的定义知，由“直线a与平面α内的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面α垂直”，反之可以，所以应该是必要不充分条件．【答案】必要不充分6．如图所示，O为正方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是________(填序号)．①A1D；②AA1；③A1D1；④A1C1.【解析】连接B1D1，由题易知，A1C1⊥平面BB1D1D，又OB1⊂平面DD1B1B，∴A1C1⊥B1O.【答案】④7．如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA＝a，PB＝PD＝2a，则它的5个面中，互相垂直的面有__________对．【解析】由底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA＝a，PB＝PD＝2a，可得PA⊥底面ABCD，而PA⊂平面PAB，PA⊂平面PAD，可得面PAB⊥面ABCD，面PAD⊥面ABCD，AB⊥面PAD，可得面PAB⊥面PAD，BC⊥面PAB，可得面PAB⊥面PBC，CD⊥面PAD，可得面PAD⊥面PCD.故共5对互相垂直的面．【答案】5考点一有关垂直关系的判断【例1】设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥βC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n【解析】若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故A错误；∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又∵n∥β，∴α⊥β，故B正确；若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β的位置关系不确定，故C错误；若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m，n异面，故D错误．故选B.【答案】B【反思归纳】跟踪训练1(2019·东城模拟)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()A．α⊥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥βC．α⊥β，且m∥αD．m⊥n，且n∥β【解析】因为α⊥β，m⊂α，则m，β的位置关系不确定，可能平行、相交、m在β面内，故A错误；由线面垂直的性质定理可知B正确；若α⊥β，m∥α，则m，β的位置关系也不确定，故C错误；若m⊥n，n∥β，则m，β的位置关系也不确定，故D错误．故选B.【答案】B考点二直线与平面垂直的判定与性质角度1利用线线垂直证明线面垂直【例2】(2019·宜昌模拟)在正三棱柱ABCA1B1C1中，BC＝2BB1，E，F，M分别为A1C1，AB1，BC的中点．(1)求证：EF∥平面BB1C1C.(2)求证：EF⊥平面AB1M.【证明】(1)连接A1B，BC1.因为E，F分别为A1C1，AB1的中点，所以F为A1B的中点，所以EF∥BC1.因为BC1⊂平面BB1C1C，EF⊄平面BB1C1C，所以EF∥平面BB1C1C.(2)在矩形BCC1B1，BC＝2BB1，所以tan∠CBC1＝22，tan∠B1MB＝2.所以tan∠CBC1·tan∠B1MB＝1.所以∠CBC1＋∠B1MB＝π2.所以BC1⊥B1M.因为EF∥BC1，所以EF⊥B1M.在正三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC⊥平面BB1C1C.因为M为BC的中点，AB＝AC，所以AM⊥BC.因为平面ABC∩平面BB1C1C＝BC，所以AM⊥平面BB1C1C.因为BC1⊂平面BB1C1C，所以AM⊥BC1.因为EF∥BC1，所以EF⊥AM.又因为AM∩B1M＝M，AM⊂平面AB1M，B1M⊂平面AB1M，所以EF⊥平面AB1M.角度2利用线面垂直证明线线垂直【例3】如图，在三棱锥ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.(1)求证：EF∥平面ABC.(2)求证：AD⊥AC.【证明】(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.【反思归纳】考点三面面垂直的判定与性质【例4】(2018·全国Ⅲ卷)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．(1)证明：平面AMD⊥平面BMC.(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．【解析】(1)证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM.因为M为CD上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM.又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.而DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.(2)当P为AM的中点时，MC∥平面PBD.证明如下：如图，连接AC交BD于O.因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．连接OP，因为P为AM中点，所以MC∥OP.MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，所以MC∥平面PBD.【反思归纳】跟踪训练2如图，在三棱锥PABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．(1)求证：PA⊥BD.(2)求证：平面BDE⊥平面PAC.(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积．【解析】(1)证明：因为PA⊥AB，PA⊥BC，所以PA⊥平面ABC.又因为BD⊂平面ABC，所以PA⊥BD.(2)证明：因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知，PA⊥BD，所以BD⊥平面PAC.所以平面BDE⊥平面PAC.(3)因为PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝DE，所以PA∥DE.因为D为AC的中点，所以DE＝12PA＝1，BD＝DC＝2.由(1)知，PA⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC.所以三棱锥EBCD的体积V＝16BD·DC·DE＝13.考点四垂直关系的综合应用角度1直线与平面所成的角【例5】如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A,B的一动点．(1)证明：△PBC是直角三角形．(2)若PA＝AB＝2，且当直线PC与平面ABC所成角的正切值为2时，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．【解析】(1)证明：∵AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的一动点．∴BC⊥AC，∵PA⊥平面ABC，∴BC⊥PA，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，∴△BPC是直角三角形．(2)如图，过A作AH⊥PC于H，∵BC⊥平面PAC，∴BC⊥AH，PC∩BC＝C，∴AH⊥平面PBC，∴∠ABH是直线AB与平面PBC所成角，∵PA⊥平面ABC，∴∠PCA即是PC与平面ABC所成角，∵tan∠PCA＝PAAC＝2，又PA＝2，∴AC＝2，∴在Rt△PAC中，AH＝PA·ACPA2＋AC2＝233，∴在Rt△ABH中，sin∠ABH＝AHAB＝2332＝33，即直线AB与平面PBC所成角的正弦值为33.角度2与垂直有关的探索性问题【例6】如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是棱BC，AB的中点，点F在棱CC1上，已知AB＝AC，AA1＝3，BC＝CF＝2.(1)求证：C1E∥平面ADF.(2)设点M在棱BB1上，当BM为何值时，平面CAM⊥平面ADF.【解析】(1)证明：连接CE交AD于O，连接OF.因为CE，AD为△ABC的中线，则O为△ABC的重心，故CFCC1＝COCE＝23，故OF∥C1E，因为OF⊂平面ADF，C1E⊄平面ADF，所以C1E∥平面ADF.(2)当BM＝1时，平面CAM⊥平面ADF.证明如下：因为AB＝AC，故AD⊥BC.在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥平面ABC，BB1⊂平面B1BCC1，故平面B1BCC1⊥平面ABC.又平面B1BCC1∩平面ABC＝BC，所以AD⊥平面B1BCC1，CM⊂平面B1BCC1，故AD⊥CM.又BM＝1，BC＝2，CD＝1，FC＝2，故△CBM≌△FCD.易证CM⊥DF，DF与AD相交，故CM⊥平面ADF.又CM⊂平面CAM，故平面CAM⊥平面ADF.【反思归纳】