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第2讲空间点、直线、平面之间的位置关系1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的_________在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．两点(2)公理2：过___________________的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们___________________过该点的公共直线．2．空间点、直线、平面之间的位置关系不在一条直线上有且只有一条3.平行公理(公理4)和等角定理平行公理：平行于同一条直线的两条直线__________．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角______________．4．异面直线所成的角(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的________________叫做异面直线a与b所成的角．互相平行相等或互补锐角(或直角)题组一常识题1．给出下列命题：①三条不共线的线段首尾顺次相接，则这三条线段确定一个平面；②若两个圆交于两点，则这两个圆确定一个平面；③一条直线与两条平行直线都相交，则这三条直线确定一个平面．其中正确命题的序号是__________．【解析】三条不共线的线段首尾顺次相接，构成一个三角形，所以能确定一个平面，所以①正确；一个圆是平面图形，两个相交的圆不一定在一个平面内，所以②不正确；两条平行直线确定一个平面，第三条直线与这两条平行直线都相交，所以第三条直线在这个平面内，所以③正确．【答案】①③2．(教材改编)已知直线a与b平行，直线c与b相交，则直线a与c的位置关系是__________．【解析】当直线c在直线a与b确定的平面内时，a与c相交；当直线c与直线a，b确定的平面相交时，a与c异面．【答案】相交或异面3．(教材改编)一条直线l上有三个相异的点A，B，C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是________．【解析】当距离不为零时，l∥α，当距离为零时，l⊂α.【答案】l∥α或l⊂α4．(教材改编)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为________．【解析】连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为异面直线B1C与EF所成的角，又B1D1＝B1C＝D1C，所以∠D1B1C＝60°.【答案】60°题组二常错题◆索引：对异面直线的概念理解有误；对平面的性质掌握不熟，应用不灵活；不能通过平行移动法将异面直线所成的角转化为两相交直线的夹角．5．下列关于异面直线的说法中正确的是________．(填序号)①若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；②若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；③若a，b不同在平面α内，则a与b异面；④若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面．【解析】①②③中的两条直线还有可能平行或相交，由异面直线的定义可知④正确.【答案】④6．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．【解析】在EF上任意取一点M，则直线A1D1与M确定一个平面(如图所示)，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与三条异面直线A1D1，EF，CD都有交点．故满足题意的直线有无数条．【答案】无数7．三棱柱ABCA1B1C1的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，底面边长为2，高为2，M是AB的中点，则直线CM与BC1所成的角等于________．【解析】如图所示，取A1B1的中点N，连接C1N，MN，BN，则C1N∥CM，所以∠BC1N即为异面直线CM与BC1所成的角，由题意易得C1N＝3，BN＝3，BC1＝6，所以三角形BNC1为等腰直角三角形，则∠BC1N＝45°.【答案】45°8．如图所示，在正方体ABCDA′B′C′D′中，点P在线段AD′上运动，则异面直线CP与BA′所成的角θ的取值范围是________．【解析】连接CD′，AC，则A′B∥D′C，∴CP与BA′所成的角即为CP与D′C所成的角，即θ＝∠D′CP.∵△AD′C是正三角形，∴当P与A重合时，θ＝π3.∵P不能与D′重合(此时D′C与A′B平行而不是异面直线)，∴0θ≤π3.【答案】0θ≤π3考点一平面的基本性质及应用【例1】如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面．(2)CE，D1F，DA三线共点．【证明】(1)如图，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EFCD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈直线CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．【反思归纳】跟踪训练1如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求证：E，F，G，H四点共面．(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．【证明】(1)因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD.在△BCD中，BGGC＝DHHC＝12，所以GH∥BD，所以EF∥GH.所以E，F，G，H四点共面．(2)因为EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC，所以P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.所以P为平面ABC与平面ADC的公共点．又平面ABC∩平面ADC＝AC，所以P∈AC，所以P，A，C三点共线．考点二空间两条直线位置关系角度1两条直线位置关系的判定【例2】已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()A．m∥lB．m∥nC．n⊥lD．m⊥n【解析】由题意知α∩β＝l，∴l⊂β，∵n⊥β，∴n⊥l.【答案】C【例3】(2019·江南十校联考)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点M∈AB1，N∈BC1，且AM＝BN≠2，有以下四个结论：①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④MN与A1C1是异面直线．其中正确结论的序号是________．(注：把你认为正确命题的序号都填上)【解析】过N作NP⊥BB1于点P，连接MP，可证AA1⊥平面MNP，∴AA1⊥MN，①正确．过M，N分别作MR⊥A1B1，NS⊥B1C1于点R，S，则当M不是AB1的中点，N不是BC1的中点时，直线A1C1与直线RS相交；当M，N分别是AB1，BC1的中点时，A1C1∥RS，∴A1C1与MN可以异面，也可以平行，故②④错误．由①正确知，AA1⊥平面MNP，而AA1⊥平面A1B1C1D1，∴平面MNP∥平面A1B1C1D1，故③对．综上所述，其中正确命题的序号是①③.【答案】①③角度2异面直线的判定【例4】在下图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)【解析】图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中，GH与MN异面．【答案】②④【反思归纳】跟踪训练2已知α，β是两不重合的平面，直线m⊥α，直线n⊥β，则“α，β相交”是“直线m，n异面”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】若“α，β相交”，有可能直线“m，n相交”，所以不是充分条件，反过来，若“α，β不相交”，那么α∥β，也就能推出m∥n，即m，n不异面，这个命题的逆否命题就是“m，n异面”，则α，β相交，所以是必要不充分条件，故选B.【答案】B跟踪训练3(2019·武汉模拟)已知a、b、c是相异直线，α、β、γ是相异平面，则下列命题中正确的是()A．a与b异面，b与c异面⇒a与c异面B．a与b相交，b与c相交⇒a与c相交C．α∥β，β∥γ⇒α∥γD．a⊂α，b⊂β，α与β相交⇒a与b相交【解析】如图①，在正方体中，a、b、c是三条棱所在直线，满足a与b异面，b与c异面，但a∩c＝A，故A错误；在图②的正方体中，满足a与b相交，b与c相交，但a与c不相交，故B错误；如图③，α∩β＝c，a∥c，则a与b不相交，故D错误．【答案】C跟踪训练4(2019·唐山质检)正方体ABCDA1B1C1D1棱长为6，E点在棱BC上，且BE＝2EC，过E点的直线l与直线AA1，C1D1分别交于M，N两点，则MN等于()A．313B．95C．14D．21【解析】根据题意作图，由图可知：C1FA1D1＝NC1ND1＝13，NC1＝3，∴FN＝13，A1F＝A1B21＋B1F21＝213，EN＝EF2＋FN2＝7，故EFMA1＝ENMN＝13，∴MN＝21，故选D.【答案】D考点三异面直线所成的角【例5】如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.15B.25C.35D.45【解析】连接BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角．连接A1C1，由AB＝1，则AA1＝2，A1C1＝2，A1B＝BC1＝5，故cos∠A1BC1＝5＋5－22×5×5＝45.则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为45.【答案】D【互动探究】1．将母题条件“AA1＝2AB＝2”改为“AB＝1，若平面ABCD内有且仅有一点到顶点A1的距离为1”，问题不变．【解析】由平面ABCD内有且仅有一点到A1的距离为1，则AA1＝1.此时正四棱柱变为正方体ABCDA1B1C1D1，由图知A1B与AD1所成角为∠A1BC1，连接A1C1.则△A1BC1为等边三角形，∴∠A1BC1＝60°，∴cos∠A1BC1＝12，故异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为12.2．将母题条件“AA1＝2AB＝2”改为“AB＝1，且平面ABCD内有且仅有一点到顶点A1的距离为1”，则是否存在过顶点A的直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成角都相等，若存在，存在几条？若不存在，说明理由．【解析】由条件知，此时正四棱柱为正方体．如图，连接对角线AC1，显然AC1与棱AB，AD，AA1所成角都相等，联想正方体的其他体对角线．如连接BD1，则BD1与棱BC，BA，BB1所成的角都相等，因为BB1∥AA1，BC∥AD.∴体对角线BD1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等．同理体对角线A1C，DB1也与棱AB，AD，AA1所成角都相等，故过A作BD1，A1C，DB1的平行线都满足，故这样的直线可以作4条．【反思归纳】跟踪训练5已知直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.32B.155C.105D.33【解析】法一：如图所示，将直三棱柱ABCA1B1C1补成直四棱柱ABCDA1B1C1D1，连接AD1，B1D1，则AD1∥BC1，所以∠B1AD1或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角．因为∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，所以AB1＝5，AD1＝2.在△B1D1C1中，∠B1C1D1＝60°，B1C1＝1，D1C1＝2，所以B1D1＝12＋22－2×1×2×cos60°＝3，所以cos∠B1AD1＝5＋2－32×5×2＝105.法二：如图，设M，N，P分别为AB，BB1，B1C1的中点，连接MN，NP，MP，则MN∥AB1，NP∥BC1，所以∠PNM或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角．易知MN＝12AB1＝52