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高考总复习第（1）轮理科数学第一单元集合与常用逻辑用语第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．2．理解全称量词与存在量词的意义．3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1．简单的逻辑联结词(1)叫作逻辑联结词．(2)用逻辑联结词“且”联结命题p和命题q，记作，读作“p且q”．(3)用逻辑联结词“或”联结命题p和命题q，记作，读作“p或q”．“或”“且”“非”p∧qp∨q(4)真值表：表示命题真假的表叫作真值表．由命题p，q及逻辑联结词形成的新命题的真假可以通过下面的真值表来加以判断.pq﹁pp∨qp∧q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假2.量词(1)短语“、”在逻辑中通常叫作全称量词；常见的全称量词还有“、、、”等．(2)含有的命题叫作全称命题．(3)短语“、”在逻辑中通常叫作存在量词；常见的存在量词还有“、、、”等．(4)含有的命题叫作特称命题．对所有的对任意一个对一切对每个任给所有的全称量词存在一个至少有一个有些有一个对某个有的存在量词(5)全称命题p：∀x∈M，P(x)的否定﹁p:，；全称命题的否定是命题．(6)特称命题p：∃x∈M，P(x)的否定﹁p:，；特称命题的否定是命题．∃x0∈M﹁P(x0)特称∀x∈M﹁P(x)全称1．含有逻辑联结词的命题的真假的判断规律(1)p∨q：p，q中一个为真，则p∨q为真，即有真即真；(2)p∧q：p，q中一个为假，则p∧q为假，即有假即假；(3)﹁p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．2．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．1．若命题“p∨q”与命题“﹁p”都是真命题，则()A．命题p不一定是假命题B．命题q一定是真命题C．命题q不一定是真命题D．命题p与命题q的真假相同解：由﹁p为真,得p为假，由p∨q为真，得q为真，选B.答案：B2．已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是()A．p∧（﹁q）B．（﹁p）∧qC．（﹁p）∧（﹁q）D．p∧q解：命题p为真命题，命题q为假命题，故﹁q为真命题，p∧（﹁q）为真命题．答案：A3．(2018·海淀区期末)下列命题中的假命题是()A．∀x∈R,2x－10B．∀x∈N*，(x－1)20C．∃x0∈R，lgx01D．∃x0∈R，tanx0＝2解：对于A，∀x∈R，都有2x－10，为真命题；对于B，当x＝1时，(x－1)2＝0，为假命题；对于C，如x0＝110，lgx0＝－11，为真命题；对于D，因为y＝tanx的值域为R，故∃x0∈R，使tanx0＝2，为真命题．答案：B4．(经典真题)设命题p：∃n∈N，n22n，则﹁p为()A.∀n∈N，n22nB.∃n∈N，n2≤2nC.∀n∈N，n2≤2nD.∃n∈N，n2＝2n解：考查特称命题的否定，﹁p：∀n∈N，n2≤2n.答案：C5．(2018·长春二模)设命题p：∀x∈(0，＋∞)，lnx≤x－1，则﹁p是()﹁p：∀x∈(0，＋∞)，lnxx－1B．﹁p：∀x∈(－∞，0]，lnxx－1C.﹁p：∃x0∈(0，＋∞)，lnx0x0－1D.﹁p：∃x0∈(0，＋∞)，lnx0≤x0－1解：含量词的命题的否定方法为先换量词，再否定结论．答案：C含有逻辑联结词命题的真假判断含一个量词的命题的真假判定与否定含有逻辑联结词命题的真假的应用考点1·含一个量词的命题的真假判定与否定【例1】(1)(2018·龙岗区期末)下列命题中的假命题是A．∀x∈R，x30B．∃x∈R，tanx＝1C．∃x∈R，lgx＝0D．∀x∈R，2x0(2)命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x0B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x00D．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0≥0解：(1)因为x＝－1时，x3＝－10，所以A为假命题；因为tanx∈R，所以一定存在x∈R，使tanx＝1，故B为真命题；因为x＝1时，lgx＝0，所以C为真命题；对任意x∈R，2x0成立，所以D为真命题．(2)原命题的否定为：∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x00.答案：(1)A(2)C【变式探究】1．(1)(经典真题)命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是()A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)nB．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)nC．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)n0D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)n0(2)下列命题的否定为假命题的是()A．∀x∈R，－x2＋x－10B．∀x∈R，|x|xC．∀x，y∈Z,2x－5y≠12D．∃x0∈R，sin2x0＋sinx0＋1＝0解：(1)写全称命题的否定时，要把量词∀改为∃，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．(2)可判定原命题的真假，再根据原命题的真假与命题的否定的真假相反得出结论．因为只有选项A中原命题为真命题，故其否定为假命题，其余选项均不符合．答案：(1)D(2)A点评：(1)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可．要判定一个特称命题成立，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则，这一特称命题就是假命题(2)全(特)称命题的否定，是将其全称量词改为存在量词(存在量词改为全称量词)，并把结论否定．从命题的形式看，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．考点2·含有逻辑联结词命题的真假判断【例2】(2017·山东卷)已知命题p：∀x＞0，ln(x＋1)＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2.下列命题为真命题的是()A．p∧qB．p∧（﹁q）C．（﹁p）∧qD．（﹁p）∧（﹁q）解：因为x＞0，所以x＋1＞1，所以ln(x＋1)＞ln1＝0.所以命题p为真命题，所以﹁p为假命题．因为a＞b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，此时a2＜b2，所以命题q为假命题，所以﹁q为真命题．所以p∧q为假命题，p∧（﹁q）为真命题，（﹁p）∧q为假命题，（﹁p）∧（﹁q）为假命题．答案：B【变式探究】2．(2018·兰州市高考诊断考试)设命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋1x03；q：命题q：∀x∈(2，＋∞)，x22x，则下列命题为真的是()A．p∧(﹁q)B．(﹁p)∧qC．p∧qD．(﹁p)∨q解：对于命题p：当x0＝4时，x0＋1x0＝1743,所以命题p是真命题；对于命题q：当x＝4时，24＝42＝16.所以∃x0∈(2，＋∞)，使得2x0＝x20成立，所以命题q是假命题．所以p∧(﹁q)是真命题．答案：A点评：判断含有逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的真假，①弄清构成它的命题p,q的真假；②弄清结构形式；③据真值表来判断新命题的真假．考点3·逻辑联结词命题真假的应用【例3】(2018·汕头模拟)已知命题p：关于x的方程x2＋ax＋1＝0没有实根；命题q：∀x＞0，2x－a＞0.若“綈p”和“p∧q”都是假命题，则实数a的取值范围是A．(－∞，－2)B．(－2，1]C．(1，2)D．(1，＋∞)解：若方程x2＋ax＋1＝0没有实根，则判别式Δ＝a2－4＜0，即－2＜a＜2，即p：－2＜a＜2；∀x＞0，2x－a＞0，则a＜2x，当x＞0时，2x＞1，则a≤1，即q：a≤1，因为綈p是假命题，则p是真命题，因为p∧q是假命题，则q是假命题，即,1,22aa得1＜a＜2.答案：C【变式探究】3．(2019·甘肃第二次模拟)设命题p：函数f(x)＝x3－ax－1在区间[－1，1]上单调递减；命题q：函数y＝ln(x2＋ax＋1)的值域是R.若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，则实数a的取值范围为()A．(－∞，3]B．(－∞，－2]∪[2，3)C．(2，3]D．[3，＋∞)解：若p为真命题，则f′(x)＝3x2－a≤0在区间[－1,1]上恒成立，所以a≥3x2在区间[－1,1]上恒成立，所以a≥3；若q为真命题，则方程x2＋ax＋1＝0的判别式Δ≥0⇔a≥2或a≤－2.因为“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，所以p与q一真一假．当p为真，q为假时，a≥3，－2a2，则a∈∅；当p为假，q为真时，a3，a≥2或a≤－2，则a≤－2或2≤a3.综上所述，a的取值范围为(－∞，－2]∪[2,3)．答案：B点评：以命题真假为依据求参数的取值范围时，可按如下步骤实施：(1)运用相关知识等价化简所给命题p，q；(2)由复合命题的真假分析p，q的真假关系；(3)列相应方程(组)或不等式(组)；(4)解方程(组)或不等式(组)得出结论．1．逻辑联结词——或、且、非与集合中的并集、交集、补集有着密切的关系，要注意类比．p∨q为真命题，只需p、q有一个为真即可；p∧q为真命题，必须p、q同时为真．写出“﹁p”形式的命题时常用到以下表格中的否定词语：正面词语大于()是都是反面词语不大于(≤)不是不都是正面词语所有的…任意个…至少一个…反面词语至少一个不…某个不…一个也没有…2.注意一个命题的否定与否命题的区别，否命题与命题的否定不是同一个概念，否命题是对原命题“若p，则q”既否定其条件，又否定其结论；而命题p的否定即非p，只需否定命题的结论．命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系．3．要写一个命题的否定，需先分清是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写．否定的规律是“改量词，否结论”．全称命题的否定是一个特称命题；特称命题的否定是一个全称命题．