2020届高考数学一轮总复习 第五单元 平面向量与复数 第35讲 复数的概念与运算课件 理 新人教A

高考总复习第（1）轮理科数学第五单元平面向量与复数第35讲复数的概念与运算1．理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件．2．了解复数的代数表示法及其几何意义．3．会进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如_______的数叫作复数，其中____为实部，___为虚部，i是______单位，且满足i2＝____，全体复数组成的集合C叫作________.(2)复数的分类：满足条件(a，b∈R)a＋bi为实数⇔_______a＋bi为虚数⇔_______分类a＋bi为纯虚数⇔______________(3)复数相等的充要条件：a＋bi＝c＋di⇔_______________(a，b，c，d∈R)．特别地，a＋bi＝0⇔__________(a，b∈R)．a＋biab虚数－1复数集b＝0b≠0a＝0，且b≠0a＝c且b＝da＝b＝02．复数的几何意义(1)复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面，x轴叫作______轴，y轴叫作______轴．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点________及平面向量OZuuur＝__________是一一对应关系．(3)复数的模：对应复数z的向量OZuuur的模r叫作复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|.|z|＝|a＋bi|＝____________.实虚Z(a，b)(a，b)3．共轭复数(1)定义：若两个复数实部相等，虚部互为相反数，则这两个复数互为___________，用______表示．(2)代数形式：a＋bi与a－bi互为共轭复数(a，b∈R)，即z＝a＋bi⇔z＝____________.(3)几何意义：非零复数z1、z2互为共轭复数⇔它们的对应点Z1、Z2(或向量OZ1→、OZ2→)关于______对称．共轭复数a－bi实轴4．复数的运算(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R).运算运算法则加减法z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i乘法z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i除法z1z2＝a＋bic＋di＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(2)复数加、减法的几何意义①复数加法的几何意义若复数z1，z2对应向量1OZuuur，2OZuuur不共线，则复数z1＋z2是以1OZuuur、2OZuuur为两邻边的平行四边形的____________所对应的复数．②复数减法的几何意义复数z1－z2是以连接1OZuuur、2OZuuur的______所对应的向量，并指向__________________________所对应的复数．③复平面内的两点间的距离公式d＝__________.其中z1，z2是复平面内的两点Z1和Z2所对应的复数，d为点Z1与Z2的距离．终点被减数z1所对应的点Z1|z1－z2|1．实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：实部为－2，虚部为1的复数在复平面上对应点的坐标为(－2,1)，位于第二象限．答案：B2．(2018·长春二模)已知复数z＝m2－3m＋mi(m∈R)为纯虚数，则m＝()A.0B．3C．0或3D.4解：由题意得：m2－3m＝0，m≠0，所以m＝3.答案：B3.(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝()A.1B.2C.3D．2解：因为(1＋i)x＝1＋yi，所以x＋xi＝1＋yi.又因为x，y∈R，所以x＝1，y＝x＝1.所以|x＋yi|＝|1＋i|＝2，故选B.答案：B4.(2016·全国卷Ⅱ)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A.(－3,1)B.(－1,3)C.(1，＋∞)D．(－∞，－3)解：由题意知m＋30，m－10，即－3m1.故实数m的取值范围为(－3,1)．答案：A5．(2018·浙江卷)复数21－i(i为虚数单位)的共轭复数是()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i解：21－i＝2（1＋i）1－i2＝2（1＋i）2＝1＋i，所以共轭复数为1－i.答案：B复数的概念复数的运算复数的几何意义考点1·复数的概念【例1】(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：p1：若复数z满足1z∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝\s\up6(－(－)z－2；p4：若复数z∈R，则z－∈R.其中的真命题为A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．对于p1，若1z∈R，即1a＋bi＝a－bia2＋b2∈R，则b＝0⇒z＝a＋bi＝a∈R，所以p1为真命题．对于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，则ab＝0.当a＝0，b≠0时，z＝a＋bi＝biR，所以p2为假命题．对于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1＝0.而z1＝z－2，即a1＋b1i＝a2－b2i⇔a1＝a2，b1＝－b2.因为a1b2＋a2b1＝0⇒/a1＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题．对于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，则b＝0⇒z－＝a－bi＝a∈R，所以p4为真命题．答案：B【变式探究】1．下面是关于复数z＝2－1＋i的四个命题：p1：|z|＝2;p2：z2＝2i；p3：z的共轭复数为1＋i;p4：z的虚部为－1.其中的真命题为()A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4解：z＝2－1＋i＝2－1－i－1＋i－1－i＝－1－i，因为|z|＝－12＋－12＝2，所以p1是假命题；因为z2＝(－1－i)2＝2i，所以p2是真命题；因为z－＝－1＋i，所以p3是假命题；因为z的虚部为－1，所以p4是真命题．所以其中的真命题共有2个：p2，p4.答案：C点评：(1)例1及其变式1全面考查了复数的概念，主要考查了复数的实部、虚部，复数的模、共轭复数等概念，考查了复数乘、除等基本运算．(2)处理复数的基本概念问题，常常要结合复数的运算把复数化为a＋bi的形式，然后从定义出发，把复数问题转化为实数问题来处理．考点2·复数的运算【例2】(1)(2017·全国卷Ⅲ)设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝()A.12B.22C.2D．2(2)(2018·全国卷Ⅰ)设z＝1－i1＋i＋2i，则|z|＝()A．0B.12C．1D.2解：(1)(方法1)利用复数的乘法求解：设z＝a＋bi，a，b∈R，则(1＋i)(a＋bi)＝2i，即(a－b)＋(a＋b)i＝2i，所以a－b＝0，a＋b＝2，所以a＝1，b＝1，所以z＝1＋i，所以|z|＝2.(方法2)转化为复数的除法求解：因为(1＋i)z＝2i，所以z＝2i1＋i＝2i1－i1＋i1－i＝21＋i2＝1＋i.所以|z|＝2.(方法3：利用一些常用结论)因为2i＝(1＋i)2，由(1＋i)z＝2i＝(1＋i)2，得z＝1＋i，所以|z|＝2.(2)因为z＝1－i1＋i＋2i＝（1－i）2（1＋i）（1－i）＋2i＝－2i2＋2i＝i，所以|z|＝1.答案：(1)C(2)C【变式探究】2．(1)(2018·全国卷Ⅱ)1＋2i1－2i＝()A．－45－35iB．－45＋35iC．－35－45iD．－35＋45i(2)(经典真题)若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝()A．－1B．0C．1D．2解：(1)1＋2i1－2i＝（1＋2i）2（1－2i）（1＋2i）＝1－4＋4i1－（2i）2＝－3＋4i5＝－35＋45i.(2)由已知得4a＋(a2－4)i＝－4i，所以4a＝0，a2－4＝－4，解得a＝0.点评：(1)复数的四则运算的解题策略：①复数的加减乘法可类比多项式的运算，除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．②复数的乘、除运算可以互相转化，运算时，要根据题目特点合理转化．(2)几个常用结论在进行复数的运算时，掌握以下结论，可提高计算速度．①(1±i)2＝±2i；1＋i1－i＝i，1－i1＋i＝－i.②i(a＋bi)＝－b＋ai.③i2＝－1，i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.考点3·复数的几何意义【例3】(1)(经典真题)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝()A．－5B．5C．－4＋iD．－4－i(2)已知平行四边形OABC的三个顶点O、A、C对应的复数分别为0,3＋2i，－2＋4i，如图，则：①AOuuur表示的复数为_____________________；②CAuur表示的复数为_____________________；③B点对应的复数为____________________．解：(1)z1＝2＋i在复平面内对应的点的坐标为(2,1)，因为z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，所以z2对应的点为(－2,1)，所以z2＝－2＋i，所以z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.(2)①AOuuur＝－OAuur，所以AOuuur表示的复数为－(3＋2i)，即－3－2i.②CAuur＝OAuur－OCuuur，所以CAuur表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.③OBuuur＝OAuur＋ABuuur＝OAuur＋OCuuur，所以OBuuur表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.即B点对应的复数为1＋6i.答案：(1)A(2)①－3－2i②5－2i③1＋6i【变式探究】3．(1)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()A．AB．BC．CD．D(2)已知平行四边形ABCD中，顶点A，B分别与复数1－2i,3＋2i对应，向量ACuuur对应的复数为－2＋6i，则：①向量ADuuur对应的复数为__________；②顶点D对应的复数为__________.解：(1)表示z－的点与表示z的点关于实轴对称，所以表示z－的点为B.(2)根据题意，画出示意图：①因为ADuuur＝BCuuur＝ACuuur－ABuuur，所以ADuuur对应的复数为(－2＋6i)－[(3＋2i)－(1－2i)]＝－4＋2i.②因为ODuuur－OAuur＝ADuuur，所以ODuuur＝OAuur＋ADuuur，所以D对应的复数为(1－2i)＋(－4＋2i)＝－3.点评：(1)复平面内的点、向量与复数之间可以建立一一对应关系，这是复数的几何意义．(2)复数加、减法的几何意义就是对应的向量加、减法的平行四边形法则(或三角形法则)．在解题时，要充分理解几何意义的本质，明确向量对应的复数与某一点对应的复数的异同．1．把复数问题转化为实数问题来解决是处理复数问题的一种重要方法，利用两复数相等的充要条件是将复数问题转化为实数问题的重要途径．但要注意：在两个复数相等的充要条件中，前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d，若忽略条件，则不能成立．因此，在解决复数相等问题，一定要把复数的实部和虚部分离出来，再利用复数相等的充要条件化复数问题为实数问题．2．复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)及向量OZuuur是一一对应的．但要注意：(1)复平面上虚轴含有原点；(2)ABuuur与OZuuur模相等且方向相同，则它们表示同一复数，但是只有向量的起点在原点O时，此时向量才与它的终点表示同一复数．3．复数的加、减法运算中，