2020届高考数学一轮总复习 第五单元 平面向量与复数 第34讲 平面向量的应用课件 理 新人教A版

高考总复习第（1）轮理科数学第五单元平面向量与复数第34讲平面向量的应用1．会用向量方法解决简单的力、速度的分解与合成问题．2．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．3．会用向量方法解决某些简单与其他数学知识有关的问题．1．用向量法处理垂直问题(1)对非零向量a与b，a⊥b⇔__________.(2)若非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a⊥b⇔_______________.2．用向量法处理平行问题(1)向量a与非零向量b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使得_________.(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)是平面向量，则向量a与非零向量b共线的充要条件是_____________.a·b＝0x1x2＋y1y2＝0a＝λbx2y1－x1y2＝03．用向量法求角(1)设a、b是两个非零向量，夹角记为α，则cosα＝________.(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)是平面向量，则cosα＝_____________.4．用向量法处理距离(长度)问题(1)设a＝(x，y)，则a2＝|a|2＝__________，即|a|＝__________.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，且a＝ABuuur，则|AB|＝|ABuuur|＝_________________________5．向量在物理中的应用(1)向量在力的分解与合成中的应用．(2)向量在速度的分解与合成中的应用．x2＋y21．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4)，B(5,2)，C(－1，－4)，则这个三角形是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形解：因为ACuuur＝(－4，－8)，ABuuur＝(2，－2)，BCuuur＝(－6，－6)，而ABuuur·BCuuur＝2×(－6)＋(－2)×(－6)＝0，所以AB⊥BC，故△ABC为直角三角形．答案：B2．一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1、F2成120°角，且F1、F2的大小分别为1和2，则有()A．F1、F3成90°角B．F1、F3成150°角C．F2、F3成90°角D．F2、F3成60°角答案：A3．平面上有三个点A(－2，y)，B(0，y2)，C(x，y)，若ABuuur⊥BCuuur，则动点C的轨迹方程为______________.解：因为ABuuur＝(2，－y2)，BCuuur＝(x，y2)，又ABuuur⊥BCuuur，所以ABuuur·BCuuur＝0，所以(2，－y2)·(x，y2)＝0，即2x－y24＝0，所以y2＝8x(x≠0)．答案：y2＝8x(x≠0)4．已知平面向量a＝(1，cosθ)，b＝(1,3sinθ)，若a与b共线，则tan2θ的值为_______.解：由条件得3sinθ－cosθ＝0，所以tanθ＝13，tan2θ＝2tanθ1－tan2θ＝231－19＝34.答案：345．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，CD＝BC＝1，P是腰DC上的动点，则|PAuur＋3PBuur|的最小值为_______.解：以D为原点，DA，DC所在直线分别为x、y轴，建立平面直角坐标系，则A(2,0)，B(1,1)．设点P(0，y)，0≤y≤1，则PAuur＋3PBuur＝(5,3－4y)，所以|PAuur＋3PBuur|＝25＋3－4y2，即当y＝34时，所求模长取得最小值5.答案：5向量在物理中的应用向量在平面几何中的应用向量的综合应用考点1·向量在物理中的应用【例1】一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分别为2和4，则F3的大小为()A．6B．2C．25D．27解：结合向量的平行四边形法则(如图)，易知F3的大小，即平行四边形对角线OD的长度，根据余弦定理，可得OD2＝22＋42－2×2×4cos120°＝28，故OD＝27.答案：D【变式探究】1．一条河宽为400m，一船从A出发航行垂直到达河正对岸的B处，船速为20km/h，水速为12km/h，则船到达B处所需时间为________min.解：船速度与水流速度的合速度是船的实际航行速度．如图，|v1|＝20，|v2|＝12.根据勾股定理|v|＝16(km/h)＝8003(m/min)，故t＝400÷8003＝1.5(min)．点评：用向量法解决物理问题的步骤：①将相关物理量用几何图形表示出来；②将物理问题抽象成数学模型，转化为数学问题；③最后将数学问题还原为物理问题．考点2·向量在平面几何中的应用【例2】在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC，D是BC的中点，E是线段AB上的点，且AE＝2BE，求证：AD⊥CE.证明：(方法1：基向量法)设CAuur＝a，CBuur＝b，则|a|＝|b|，且a·b＝0，则CEuuur＝CBuur＋BEuur＝CBuur＋13BAuur＝CBuur＋13(CAuur－CBuur)＝13a＋23b.ADuuur＝CDuuur－CAuur＝12CBuur－CAuur＝12b－a.ADuuur·CEuuur＝(12b－a)·(13a＋23b)＝－13a2＋13b2＝0，所以ADuuur⊥CEuuur，即AD⊥CE.(方法2：坐标法)以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴，y轴建立直角坐标系，设CA＝2，则A(2,0)，B(0,2)，D(0,1)，E(23，43)，所以ADuuur＝(－2,1)，CEuuur＝(23，43)，所以ADuuur·CEuuur＝－43＋43＝0.所以ADuuur⊥CEuuur，即AD⊥CE.【变式探究】2．如图所示，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点，四边形PECF是矩形．证明：(1)PA＝EF；(2)PA⊥EF.证明：以D为坐标原点，以DC，DA所在的直线分别为x轴，y轴建立如图所示的坐标系．设正方形的边长为1，设P(t，t)(0≤t≤1)，则F(t,0)，E(1，t)，A(0,1)，所以PAuur＝(－t,1－t)，EFuuur＝(t－1，－t)，(1)|PAuur|＝－t2＋1－t2＝2t2－2t＋1，|EFuuur|＝t－12＋－t2＝2t2－2t＋1，所以|PAuur|＝|EFuuur|，即PA＝EF.(2)PAuur·EFuuur＝－t(t－1)＋(1－t)(－t)＝－t2＋t－t＋t2＝0.所以PAuur⊥EFuuur，即PA⊥EF.点评：用向量法解决几何问题的步骤：①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算，研究几何元素之间的关系；③把运算结果“翻译”成几何关系．考点3·向量的综合应用【例3】(2018·浙江卷)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为π3，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是A.3－1B.3＋1C．2D．2－3解：因为b2－4e·b＋3＝0，所以(b－2e)2＝1，所以|b－2e|＝1.如图所示，把a，b，e的起点作为公共点O，以O为原点，向量e所在直线为x轴，则b的终点在以点(2，0)为圆心，半径为1的圆上，|a－b|就是线段AB的长度．要求|AB|的最小值，就是求圆上动点到定直线的距离的最小值，也就是圆心M到直线OA的距离减去圆的半径长，因此|a－b|的最小值为3－1.答案：A【变式探究】3．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若AP＝λAB＋μAD，则λ＋μ的最大值为()A．3B．22C.5D．2解：建立如图所示的直角坐标系，则C点坐标为(2,1)．设BD与圆C切于点E，连接CE，则CE⊥BD.因为CD＝1，BC＝2，所以BD＝12＋22＝5，EC＝BC·CDBD＝25＝255，即圆C的半径为255，所以P点的轨迹方程为(x－2)2＋(y－1)2＝45.设P(x0，y0)，则x0＝2＋255cosθ，y0＝1＋255sinθ(θ为参数)，而AP＝(x0，y0)，AB＝(0,1)，AD＝(2,0)．因为AP＝λAB＋μAD＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，所以μ＝12x0＝1＋55cosθ，λ＝y0＝1＋255sinθ.两式相加，得λ＋μ＝1＋255sinθ＋1＋55cosθ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中sinφ＝55，cosφ＝255)，当且仅当θ＝π2＋2kπ－φ，k∈Z时，λ＋μ取得最大值3.点评：由于向量代数形式与几何形式的“双重身份”，因此，它可与平面几何、解析几何、三角等知识建立广泛的联系．要重视向量的“工具”作用，注意和其他知识的联系，提高综合运用的意识．1．向量的平行、垂直关系是向量最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、长度是向量的数量特征，是数形结合的重要工具，这些知识是高考重点考查内容之一，因此，对这些基本知识必须在理解的基础上熟练掌握．2．向量法解决几何问题的“三步曲”，即：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题化为向量问题．(2)通过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题．(3)把运算结果“翻译”成几何关系．3．证明直线平行、垂直、线段相等等问题的常用方法：(1)要证AB＝CD，可转化为证明ABuuur2＝CDuuur2或|ABuuur|＝|CDuuur|.(2)要证两线段AB∥CD，只要证存在一实数λ≠0，使等式ABuuur＝λCDuuur成立即可．(3)要证明两线段AB⊥CD，只需证ABuuur·CDuuur＝0.4．用数学知识解决物理问题，首先要把物理问题转化为数学问题，即将物理量之间的关系抽象成数学模型，然后再通过对这个数学模型进行研究，解释相关物理现象．