2020届高考数学一轮总复习 第五单元 平面向量与复数 第33讲 平面向量的数量积课件 理 新人教A

高考总复习第（1）轮理科数学第五单元平面向量与复数第33讲平面向量的数量积1．理解和掌握平面向量的数量积及其几何意义．2．掌握平面向量数量积的性质、运算律及其运算．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．1．两向量的夹角与垂直已知两个非零向量a、b，作OAuur＝a，OBuuur＝b，则__________________________叫作向量a、b的夹角，特别地，当a与b夹角为90°时，我们说a与b垂直，记作__________.2．向量数量积的定义已知两个非零向量a、b，它们的夹角为θ，我们把数量___________叫作a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝___________.规定0与任一向量的数量积为______.∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)a⊥b|a|·|b|cosθ|a|·|b|cosθ03．a·b的几何意义(1)一个向量在另一个向量方向上的投影．设θ是向量a与b的夹角，则_________叫作a在b方向上的投影，__________作b在a方向上的投影．(2)a·b的几何意义：a·b等于a的长度_____与b在a方向上的投影_________的乘积．4．向量数量积的性质a、b是两个非零向量，它们的夹角为θ.(1)当a与b同向时，a·b＝_______；当a与b反向时，a·b＝_______；特别地，a·a＝__________或|a|＝_________.(2)a·b＝0⇒__________.(3)cosθ＝__________.(4)|a·b|_______|a||b|.|a|cosθ|b|cosθ|a||b|cosθ|a||b|－|a||b|a2＝|a|2a⊥b≤5．向量数量积的运算律(1)a·b＝________(交换律)．(2)(λa)·b＝__________＝__________(λ∈R)．(3)(a＋b)·c＝_____________.6．向量数量积的坐标表示(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝__________.(2)若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝________，|a|＝___________.(3)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|ABuuur|＝_________________，此时为两点间的距离公式．(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔_______________.(5)a、b是两个非零向量，它们的夹角为θ，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cosθ＝_______________.b·aλ(a·b)a(λ·b)a·c＋b·cx1x2＋y1y2x2＋y2x1x2＋y1y2＝01．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b0且a，b不共线．2．平面向量数量积的常用公式(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(2)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.(3)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.1．(经典真题)已知向量OA→⊥AB→，|OA→|＝3，则OA→·OB→＝.解：因为OA→⊥AB→，所以OA→·AB→＝0，所以OA→·OB→＝OA→·(OA→＋AB→)＝OA→2＋OA→·AB→＝|OA→|2＋0＝32＝9.答案：92．若a＝(4,2)，b＝(－4,3)，则a在b方向上的投影是()A．－5B.5C.52D．－2解：设a，b的夹角为θ，因为a·b＝|a||b|cosθ，所以a在b上的投影为|a|cosθ＝a·b|b|＝4×－4＋2×3－42＋32＝－105＝－2.答案：D3．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－12，则|a＋2b|＝()A.2B.3C.5D.7解：因为|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝1＋4×(－12)＋4＝3，所以|a＋2b|＝3.答案：B4.(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝()A.－8B.－6C.6D．8解：(方法1)因为a＝(1，m)，b＝(3，－2)，所以a＋b＝(4，m－2)．因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝12－2(m－2)＝0，解得m＝8.(方法2)因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，即a·b＋b2＝3－2m＋32＋(－2)2＝16－2m＝0，解得m＝8.答案：D5.(2016·全国卷Ⅲ)已知向量BA＝(12，32)，BC＝(32，12)，则∠ABC＝()A.30°B.45°C.60°D．120°解：因为BA＝(12，32)，BC＝(32，12)，所以BA·BC＝34＋34＝32.又因为|BA|＝|BC|＝1，所以cos∠ABC＝||||BABCBABC＝32.又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°.故选A.答案：A向量的数量积、模向量的夹角向量数量积的综合应用考点1·向量的数量积、模【例1】(1)(2015·山东卷)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则BD·CD＝()A．－32a2B．－34a2C.34a2D.32a2(2)(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.解：(1)(方法1：利用定义)因为四边形ABCD为菱形，且边长为a，所以|BD|＝3a，|CD|＝a，BD，CD＝BD，BA＝30°，所以BD·CD＝|BD|·|CD|cosBD，CD＝3a·a·cos30°＝32a2.(方法2：利用运算律)在菱形ABCD中，BA＝CD，BD＝BA＋BC.所以BD·CD＝(BA＋BC)·CD＝BA·CD＋BC·CD＝a2＋a×a×cos60°＝a2＋12a2＝32a2.(方法3：坐标法)以B为原点，BC的方向为x轴正向建立平面直角坐标系，则B(0,0)，D(32a，32a)，C(a,0)，A(a2，32a)，所以BD＝(32a，32a)，CD＝(a2，32a)，所以BD·CD＝32a×a2＋32a×32a＝32a2.(2)(方法1)|a＋2b|＝a＋2b2＝a2＋4a·b＋4b2＝22＋4×2×1×cos60°＋4×12＝12＝23.(方法2：数形结合法)由|a|＝|2b|＝2，知以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝|OC|.又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝23.答案：(1)D(2)23【变式探究】1．(1)(2013·新课标卷Ⅱ)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AEuuur·BDuuur＝______.(2)(2017·浙江卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是______，最大值是.解：(1)以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，D(0,2)，E(1,2)，所以AEuuur＝(1,2)，BDuuur＝(－2,2)，所以AEuuur·BDuuur＝1×(－2)＋2×2＝2.(2)设a，b的夹角为θ.因为|a|＝1，|b|＝2，所以|a＋b|＋|a－b|＝a＋b2＋a－b2＝5＋4cosθ＋5－4cosθ.令y＝5＋4cosθ＋5－4cosθ，则y2＝10＋225－16cos2θ.因为θ∈[0，π]，所以cos2θ∈[0,1]，所以y2∈[16,20]，所以y∈[4,25]，即|a＋b|＋|a－b|∈[4,25]．点评：(1)求平面向量的数量积的基本方法：①利用定义；②利用坐标运算；③利用运算律．(2)利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝a·a；②|a±b|＝a±b2＝a2±2a·b＋b2；③若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.考点2·向量的夹角【例2】(2017·山东卷)已知e1，e2是互相垂直的单位向量．若3e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________．解：(方法1)由题意知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，|3e1－e2|＝3e1－e22＝3e21－23e1·e2＋e22＝3－0＋1＝2.同理|e1＋λe2|＝1＋λ2.所以cos60°＝3e1－e2·e1＋λe2|3e1－e2||e1＋λe2|＝3e21＋3λ－1e1·e2－λe2221＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12，解得λ＝33.(方法2)因为e1，e2是互相垂直的单位向量，故可将e1、e2作为两个单位正交基底，建立直角坐标系，所以a＝3e1－e2＝(3，－1)，b＝e1＋λe2＝(1，λ)，所以|a|＝2，|b|＝1＋λ2，a·b＝3－λ，因为a与b的夹角为60°，所以cos60°＝3－λ21＋λ2＝12，所以λ＝33.答案：33【变式探究】2．已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：p1：a＋b1⇔θ∈[0，2π3)p2：a＋b1⇔θ∈(2π3，π]p3：a－b1⇔θ∈[0，π3)p4：a－b1⇔θ∈(π3，π]其中的真命题是()A．p1，p4B．p1，p3C．p2，p3D．p2，p4解：因为a，b都是单位向量，所以|a|＝|b|＝1，a·b＝cosθ，因为|a＋b|1⇔|a＋b|21⇔a2＋2a·b＋b21⇔cosθ－12⇔θ∈[0，2π3)，所以命题p1正确，p2错误；因为|a－b|1⇔|a－b|21⇔a2－2a·b＋b21⇔cosθ12⇔θ∈(π3，π]，所以命题p4正确，p3错误．故真命题为p1，p4.答案：A点评：(1)求平面向量夹角的方法：①定义法：利用向量积的定义可知，cosθ＝a·b|a||b|，求解时应求出三个量：a·b，|a|，|b|或者找出这三个量之间的关系；②坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22；③解三角形法：可以把所求向量的夹角放到三角形中，利用正弦、余弦定理和三角形面积公式等进行求解．(2)求夹角时，要注意：①夹角的范围为[0，π]；②计算模时，要注意|a|＝a·a的应用，它能实现在模与数量积的转化，是求距离的常用方法．考点3·向量数量积的综合应用【例3】(2016·天津卷)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则AF→·BC→的值为()A.－58B.18C.14D.118分析：首先根据平面向量的基本定理将所求向量用等边三角形的边表示的向量表示出来，再利用数量积的定义求解．也可建立直角坐标系，利用向量的坐标运算进行求解．解：(方法1)如图所示，AF＝AD＋DF.又D，E分别为AB，BC的中点，且DE＝2EF，所以AD＝12AB，DF＝12AC＋14AC＝34AC，所以AF＝12AB＋34AC.又BC＝AC－AB，则AF·BC＝(12AB＋34AC)·(AC－AB)＝12AB·AC－12AB2＋34AC2－34AC·AB＝34AC2－12AB2－14AC·AB.又|AB|＝|AC|＝1，∠BAC＝60°，故AF·BC＝34－12－14×1×1×12＝18.故选B.(方法2)以BC为x轴，BC的中垂线为y轴建立直角坐标系，则A(0，32)，B(－12，0)，D(－14，34)，C(12，0)，由DE＝2EF，得(14，－34)＝2(xF，yF)，即F(18，－38)，所以AF·BC＝(18，－538)·(1,0)＝18.答案：B【变式探究】3.(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA·(PB＋PC)的最小值是()A．－2B．－32C．－43D．－1解：(方法1：解析法)建立坐标系如图所示，则A，B，C三点的坐标分别为A(0，3)，B(－1,0)，C(1,0)