2020届高考数学一轮总复习 第五单元 平面向量与复数 第32讲 平面向量的坐标表示与坐标运算课件

高考总复习第（1）轮理科数学第五单元平面向量与复数第32讲平面向量的坐标表示及坐标运算1．理解平面向量坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算，会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．2．理解用坐标表示的平面向量共线的条件，能用向量的坐标形式判断两向量及三点是否共线．1．向量的直角坐标在平面直角坐标系xOy内，分别取与x轴和y轴____________的两个_______向量i、j作为基底，对于平面内的向量a，有且只有一对实数x、y，使得a＝xi＋yj，__________就叫作在基底i、j下的坐标．2．向量的直角坐标运算若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则(1)a＋b＝_________________；(2)a－b＝_________________；(3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝_____________；(4)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则ABuuur＝_________________.3．平面向量共线的坐标表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a∥b的充要条件是______________.方向相同单位(x，y)(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx，λy)(x2－x1，y2－y1)x1y2－x2y1=01．若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.2．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果x2，y2≠0，则a∥b⇔x1x2＝y1y2.3．中点与重心的坐标公式(1)若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x，y)为P1P2的中点，则点P的坐标为(x1＋x22，y1＋y22)；(2)设三角形的三个顶点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，重心G的坐标为(x1＋x2＋x33，y1＋y2＋y33)．1．在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)解：由题意知，A选项中e1＝0.C、D项中的两向量均共线，都不符合基底条件，故选B.事实上，a＝(3,2)＝2e1＋e2.答案：B2．设i，j分别为与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，若a＝2i＋3j，则向量a的坐标为()A．(2,3)B．(3,2)C．(－2，－3)D．(－3，－2)解：由向量坐标的定义可知a的坐标为(2,3)．答案：A3．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c＝()A.－12a＋32bB.12a－32bC.－32a＋12bD.32a＋12b解：由平面向量的基本定理可知，可设c＝xa＋yb.即(－1,2)＝x(1,1)＋y(1，－1)．所以－1＝x＋y2＝x－y，解得x＝12，y＝－32.所以c＝12a－32b.答案：B4．(2018·长春二模)已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(－2，0)，则|a＋2b|＝()A.32B．3C．22D.5解：由题意a＋2b＝(－3，－3)，所以|a＋2b|＝（－3）2＋（－3）2＝32.答案：A5.(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝___.解：2a＋b＝(4，2)，因为c∥(2a＋b)，所以4λ＝2，得λ＝12答案：12向量的坐标运算向量共线的坐标表示及应用平面向量坐标运用的综合应用考点1·向量的坐标运算【例1】已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为(1,0)，(0,2)，(－1，－2)，则顶点D的坐标为__________．解：设D的坐标为(x，y)，因为四边形ABCD是平行四边形，所以ABuuur＝DCuuur，所以(0,2)－(1,0)＝(－1，－2)－(x，y)，所以(－1,2)＝(－1－x，－2－y)，所以－1－x＝－1，－2－y＝2，所以x＝0，y＝－4，所以D的坐标为(0，－4)．答案：(0，－4)【变式探究】1.(2018·福建龙岩一模)已知△ABC的三个顶点A，B，C的坐标分别为(0,1)，(2，0)，(0，－2)，O为坐标原点，动点P满足|CP|＝1，则|OA＋OB＋OP|的最小值是()A.3－1B.11－1C.3＋1D.11＋1解：动点P满足|CP|＝1，动点P在以(0，－2)为圆心，半径为1的圆上运动，设P(x，y)，则|OA＋OB＋OP|＝|(0,1)＋(2，0)＋(x，y)|＝|(x＋2，y＋1)|＝x＋22＋y＋12，表示定点D(－2，－1)到圆C：x2＋(y＋2)2＝1上的点的距离．因为|DC|＝－22＋－1＋22＝3，所以|OA＋OB＋OP|的最小值为3－1.点评：(1)向量相等就是两向量的坐标对应相等．(2)利用向量的坐标运算可将向量问题代数化．(3)注意如下结论的运用：①当向量的起点在原点时，P点的坐标就是向量OP的坐标；②若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则向量AB＝(x2－x1，y2－y1)；|AB|＝x2－x12＋y2－y12.考点2·向量共线的坐标表示及应用【例2】如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，试用向量方法求AC和OB交点P的坐标．解：(方法1)由O，P，B三点共线，可设OP＝λOB＝(4λ，4λ)，因为AP＝OP－OA＝(4λ－4，4λ)，又AC＝OC－OA＝(－2，6)，由AP与AC共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP＝λOB＝34(4，4)＝(3，3)．解：(方法2)设P(x，y)，则OPuuur＝(x，y)，OBuuur＝(4,4)，因为OPuuur，OBuuur共线，所以4x－4y＝0，①又CPuur＝(x－2，y－6)，CAuur＝(2，－6)，且向量CPuur，CAuur共线，所以－6(x－2)－2(y－6)＝0，②解①和②组成的方程组得x＝3，y＝3，所以P的坐标为(3,3)．【变式探究】2.(2016·辽宁实验中学模拟)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝()A.(79，73)B.(－73，－79)C.(73，79)D．(－79，－73)解：设c＝(x，y)，因为a＝(1,2)，b＝(2，－3)，所以c＋a＝(x＋1，y＋2)，a＋b＝(3，－1)，因为(c＋a)∥b，所以－3(x＋1)－2(y＋2)＝0，即3x＋2y＝－7，①又c⊥(a＋b)，所以3x－y＝0，②由①②得3x＋2y＝－7，3x－y＝0，解得x＝－79，y＝－73.点评：(1)解决向量共线(平行)的问题，可从两向量平行的几何表示出发，也可从坐标形式出发，一般来说，若坐标已知，采用坐标形式要简单些．(2)求有关向量的坐标或点的坐标时，若直接求解困难，可考虑利用方程的思想方法，通过解方程(组)进行求解．考点3·平面向量坐标运用的综合应用【例3】(2018·深圳市二模)如图，正方形ABCD中，M，N是BC，DC的中点，若AC＝λAM＋μBN，则λ＋μ＝()A.2B.83C.65D.85解：(方法1：选择AB、AD为基底)因为AC→＝λAM＋μBN＝λ(AB＋BM)＋μ(BC＋CN)＝λ(AB＋12AD)＋μ(AD－12AB)＝(λ－12μ)AB＋(12λ＋μ)AD，所以λ－12μ＝1，12λ＋μ＝1，解得λ＝65，μ＝25.所以λ＋μ＝85.(方法2：建立坐标系，利用坐标运算求解)以A为坐标原点，分别以AB，AD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，设正方形的边长为1，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，M(1，12)，N(12，1)，所以AC＝(1,1)，AM＝(1，12)，BN＝(－12，1)，因为AC＝λAM＋μBN，所以(1,1)＝λ(1，12)＋μ(－12，1)＝(λ－12μ，12λ＋μ)，所以λ－12μ＝1，12λ＋μ＝1，解得λ＝65，μ＝25.所以λ＋μ＝85.【变式探究】3.向量a，b，c在正方形网中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则λμ＝________.解：以向量a，b的公共点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，可得a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)，因为c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，即(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)＝(－λ＋6μ，λ＋2μ)，所以－1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ，解得λ＝－2，μ＝－12，所以λμ＝4.答案：4点评：(1)平面内的任何向量都可由基底唯一表示出来，因此，用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)解决向量问题有两种基本思路，一是利用基向量进行处理，二是利用坐标进行求解．因此，在求解时，要注意方法的选择．1．向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示，它使向量的运算完全化为代数运算，实现了形与数的紧密结合，为进一步用代数的方法研究向量及几何问题创造了条件．2．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.对共线的充要条件要注意：①a∥b的充要条件不能表示成x1y1＝x2y2，因为y1，y2可能为0；②a∥b的充分条件不能错记为x1x2－y1y2＝0，也不能与a⊥b的充要条件x1x2＋y1y2＝0混淆．3．平面向量的基本定理就是可以用一组基底表示平面内的任意一个向量，这种表示是唯一的，但基底的选择却不唯一．用向量解决几何问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．