2020届高考数学一轮总复习 第四单元 三角函数与解三角形 第29讲 正弦定理与余弦定理课件 理 新

高考总复习第（1）轮理科数学第四单元三角函数与解三角形第29讲正弦定理与余弦定理1．掌握正弦定理、余弦定理．2．能利用这两个定理解斜三角形及解决与正弦定理、余弦定理有关的实际问题．1．正弦定理与余弦定理(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和______________________相等，并且都等于_________________，即________________________.(2)余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的_______的积的2倍，即：a2＝__________________；b2＝__________________；c2＝__________________.已知三角形的三边求各角时，余弦定理变形为：cosA＝___________；cosB＝___________；cosC＝___________.它所对角的正弦的比外接圆的直径余弦b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC3．三角形的面积公式(1)S△ABC＝12a·ha(其中ha表示边a上的高)；(2)S△ABC＝12absinC＝＝；(3)S△ABC＝12(a＋b＋c)·r(r为三角形内切圆的半径)．1．三角形边角关系(1)三角形三边的关系：①三角形任何两边之和大于第三边；②三角形任何两边之差小于第三边．(2)三角形边角关系：①三角形中，大边对大角；②三角形中，大角对大边．(3)三角形三角关系：A＋B＋C＝π.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sinA＋B2＝cosC2；(4)cosA＋B2＝sinC2.3．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.4．解三角形的四种基本类型(1)已知两角及任一边，求另一角和两边；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边及另两角；(3)已知两边和它们的夹角，求另一边及另两角；(4)已知三边，求三角．1．在锐角△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2asinB＝3b，则角A等于()A.π12B.π6C.π4D.π3解：因为2asinB＝3b，由正弦定理得2sinAsinB＝3sinB，所以sinA＝32，因为0Aπ2，所以A＝π3.答案：D2．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为()A.43B.8－43C．1D.23解：由(a＋b)2－c2＝4得a2＋b2＋2ab－c2＝4，由C＝60°得cosC＝a2＋b2－c22ab＝4－2ab2ab＝12，解得ab＝43.答案：A3.(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为a2＋b2－c24，则C＝()A.π2B.π3C.π4D.π6解：因为S＝12absinC＝a2＋b2－c24＝2abcosC4＝12abcosC，所以sinC＝cosC，即tanC＝1.因为C∈(0，π)，所以C＝π4.答案：C4．(2018·浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝7，b＝2，A＝60°，则sinB＝____，c＝___.解：(1)如图，由正弦定理asinA＝bsinB，得sinB＝ba·sinA＝27×32＝217.(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc·cosA，得7＝4＋c2－4c×cos60°，即c2－2c－3＝0，解得c＝3或c＝－1(舍去)．答案：2173解：(1)如图，由正弦定理asinA＝bsinB，得sinB＝ba·sinA＝27×32＝217.(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc·cosA，得7＝4＋c2－4c×cos60°，即c2－2c－3＝0，解得c＝3或c＝－1(舍去)．5．(真典真题)若锐角△ABC的面积为103，且AB＝5，AC＝8，则BC等于___________.解：由题知S＝12·AB·AC·sinA＝103，所以sinA＝2035×8＝32.因为A∈(0，π2)，所以A＝π3.由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝25＋64－2×5×8×cosπ3＝49，所以BC＝7.答案：7求一个三角形中的有关元素求多个三角形中的有关元素正、余弦定理的综合应用考点1·求一个三角形中的有关元素【例1】(1)(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cosC2＝55，BC＝1，AC＝5，则AB＝()A．42B.30C.29D．25(2)(2017·全国卷Ⅲ·文)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝6，c＝3，则A＝________．解：(1)因为cosC2＝55，所以cosC＝2cos2C2－1＝2×(55)2－1＝－35.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝52＋12－2×5×1×(－35)＝32，所以AB＝32＝42.解：(2)如图，由正弦定理，得3sin60°＝6sinB，所以sinB＝22.又c＞b，所以B＝45°，所以A＝180°－60°－45°＝75°.答案：(1)A(2)75°【变式探究】1.(1)(2016·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝45，cosC＝513，a＝1，则b＝____.(2)(2017·全国卷Ⅰ·文)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝2，则C＝()A.π12B.π6C.π4D.π3解：(1)因为A，C为△ABC的内角，且cosA＝45，cosC＝513，所以sinA＝35，sinC＝1213，所以sinB＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝35×513＋45×1213＝6365.又a＝1，所以由正弦定理，得b＝asinBsinA＝sinBsinA＝6365×53＝2113.(2)因为a＝2，c＝2，所以由正弦定理可知，2sinA＝2sinC，故sinA＝2sinC.又B＝π－(A＋C)，故sinB＋sinA(sinC－cosC)＝sin(A＋C)＋sinAsinC－sinAcosC＝sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC＝(sinA＋cosA)sinC＝0.又C为△ABC的内角，故sinC≠0，则sinA＋cosA＝0，即tanA＝－1.又A∈(0，π)，所以A＝3π4.从而sinC＝22sinA＝22×22＝12.由A＝3π4知C为锐角，故C＝π6.点评：(1)三角形可解类型有四类，已知△ABC中的边、角(至少包括一边)的某三个，就可求出此三角形的其他边和角．(2)已知两边和其中一边的对角(如b，c，B)应用正弦定理时，有一解、两解和无解等情况，可根据三角函数的有界性、三角形内角和定理或“三角形中大边对大角”来判断解的情况，做出正确取舍．(3)已知两边和其中一边的对角，求另一条边时，常采用余弦定理．考点2·求多个三角形中的有关元素【例2】(2017·抚州南城二中月考)在△ABC中，已知∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．分析：①图中涉及哪些三角形？(△ABD，△ADC，△ABC)②哪些三角形是可解的？(△ADC)③哪些三角形含有需要求的量(△ABD，△ABC)④你能得到的求解方案是怎样的？方案1：先解△ADC，求出cos∠ADC，再转化为sin∠ADC，在△ABD中利用正弦定理求出AB；方案2：先解△ADC，求出cosC，再转化为sinC，在△ABC中利用正弦定理求出AB.解：(方法1)在△ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，由余弦定理得cos∠ADC＝AD2＋DC2－AC22AD·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12，所以∠ADC＝120°，∠ADB＝60°，在△ADB中，AD＝10，∠B＝45°，∠ADB＝60°，由正弦定理得ABsin∠ADB＝ADsinB，所以AB＝ADsin∠ADBsinB＝10sin60°sin45°＝103222＝56.(方法2)在△ADC中，因为cosC＝62＋142－1022×6×14＝1114，所以sinC＝1－11142＝5314，所以△ABC中，由正弦定理，14sin45°＝AB5314，所以AB＝1422×5314＝56.【变式探究】2．(经典真题)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.(1)若PB＝12，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.解：(1)在△BPC中，PB＝12，BC＝1，∠BPC＝90°，所以∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.在△PBA中，由余弦定理得PA2＝3＋14－2×3×12cos30°＝74，所以PA＝72.(2)设∠PBA＝α，由已知得PB＝sinα，在△PBA中，由正弦定理得3sin150°＝sinαsin30°－α，化简得3cosα＝4sinα，所以tanα＝34，即tan∠PBA＝34.点评：(1)涉及多个三角形时，首先要分析所求元素位于哪个三角形中，有哪些元素是已知的，还需要怎样的元素，做到目标清楚．(2)具体求解时，根据所求目标尽量选择满足三角形求解条件的三角形进行求解，使含所求元素的三角形成为可解三角形，解三角形得到所求元素．考点3·正、余弦定理的综合应用【例3】(2016·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c.(1)求C；(2)若c＝7，△ABC的面积为332，求△ABC的周长．解：(1)由已知及正弦定理得2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC，即2cosCsin(A＋B)＝sinC，故2sinCcosC＝sinC.可得cosC＝12，所以C＝π3.(2)由已知得12absinC＝332.又C＝π3，所以ab＝6.由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcosC＝7，故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.所以△ABC的周长为5＋7.【变式探究】3．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为a23sinA.(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．解：(1)由题设得12acsinB＝a23sinA，即12csinB＝a3sinA.由正弦定理得12sinCsinB＝sinA3sinA.故sinBsinC＝23.(2)由题设及(1)得cosBcosC－sinBsinC＝－12，即cos(B＋C)＝－12.所以B＋C＝2π3，故A＝π3.由题意得12bcsinA＝a23sinA，a＝3，所以bc＝8.由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9.由bc＝8，得b＋c＝33.故△ABC的周长为3＋33.点评：(1)解三角形是高考的常考内容，试题常常综合正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及两角和与差的正余弦公式等相关知识，在知识的“交汇点”处设计试题，加强对双基的考查及推理论证能力、运算求解能力的考查．(2)求解三角形的综合问题时，要注意：①根据已知的边角画出图形，并在图中标示已知条件；②根据问题特点，合理运用正弦定理、余弦定理或面积公式；③注意三角恒等变换相关知识的运用．1．解斜三角形有四种类型：(1)已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝180°及asinA＝bsinB＝csinC，可求出角C，再求出b，c.(2)已知两边b，c与其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccosA，求出a，再由余弦定理求出角B，C.(3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C.(4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理asinA＝bsinB，求出另一边b的对角B，由C＝180