2020届高考数学一轮总复习 第四单元 三角函数与解三角形 第26讲 三角函数的图象与性质（一）课件

高考总复习第（1）轮理科数学第四单元三角函数与解三角形第26讲三角函数的图象与性质(一)1．熟悉基本三角函数的图象、定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性及其最值．2．会判断简单函数的奇偶性，会求简单函数的单调区间及其周期．1．用五点法作正弦、余弦函数的简图(1)y＝sinx图象在[0,2π]上的五个关键点坐标为：(0,0)，_________，(π，0)，_________，(2π，0)．(2)y＝cosx图象在[0,2π]上的五个关键点坐标为：(0,1)，(π2，0)，_________，(3π2，0)，_________.2．三角函数的图象与性质(其中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{x≠kπ＋π2，k∈Z}值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间[2kπ－π2，2kπ＋π2][2kπ－π，2kπ](kπ－π2，kπ＋π2)递减区间[2kπ＋π2，2kπ＋3π2][2kπ，2kπ＋π]最大值x＝2kπ＋π2时，ymax＝1x＝2kπ时，ymax＝1最小值x＝2kπ＋3π2时，ymin＝－1x＝(2k＋1)π时，ymin＝－11．y＝－cosx在[0，2π]的大致图象是下图中的()解：由五点法知图象应经过(0，－1)，(π2，0)，(π，1)，(3π2，0)，(2π，－1)，可知应选C.答案：C2．函数y＝11－cosx的定义域为()A．{x|x≠2kπ，k∈Z}B．{x|x≠(2k＋1)π，k∈Z}C．{x|x≠2kπ＋π2，k∈Z}D．{x|x≠2kπ＋3π2，k∈Z}解：由cosx≠1，得x≠2kπ，k∈Z，故定义域为{x|x≠2kπ，k∈Z}．答案：A3．若函数f(x)＝2sin(π－x2)cosx2，x∈[－π6，π2]，则f(x)的值域为()A．[－1,2]B．[－12，1]C．[－3，2]D．[－32，1]解：因为f(x)＝2sinx2cosx2＝sinx.所以f(x)在[－π6，π2]上单调递增，所以f(x)min＝f(－π6)＝－12，f(x)max＝f(π2)＝1.所以f(x)的值域为[－12，1]．答案：B4．(经典真题)函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφ·cos(x＋φ)的最大值为____．解：f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sinφcos(x＋φ)=sin(x＋φ)cosφ＋cos(x＋φ)sinφ－2sinφcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cosφ－cos(x＋φ)sinφ＝sin[(x＋φ)－φ]＝sinx≤1.所以f(x)max＝1.答案：15．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋3cosx－34(x∈[0，π2])的最大值是.解：f(x)＝1－cos2x＋3cosx－34＝－(cosx－32)2＋1.因为x∈[0，π2]，所以cosx∈[0,1]，所以当cosx＝32时，f(x)取得最大值，最大值为1.答案：1三角函数的定义域三角函数的值域（最值）三角函数的值域或最值的应用考点1·三角函数的定义域【例1】函数y＝2sinx－1的定义域为____________．解：由2sinx－1≥0，得sinx≥12，即π6＋2kπ≤x≤5π6＋2kπ(k∈Z)．故定义域为{x|π6＋2kπ≤x≤5π6＋2kπ，k∈Z}．答案：{x|π6＋2kπ≤x≤5π6＋2kπ，k∈Z}【变式探究】1．函数y＝1tanx－1的定义域为__________________.解：(由tanx－1≠0，得tanx≠1.所以x≠kπ＋π4且x≠kπ＋π2，k∈Z，故定义域为{x|x≠kπ＋π4且x≠kπ＋π2，k∈Z}．点评：(1)求三角函数的定义域，常转化为解三角不等式和三角方程，可借助三角函数的图象来求解．(2)解简单三角不等式的步骤：如sinxa.第一步，作出y＝sinx的图象；第二步，作直线y＝a，在三角函数的图象上找出一个周期内(不一定是[0,2π])在直线y＝a上方的图象；第三步，确定sinx＝a的x值，写出解集．考点2三角函数的值域（最值）【例2】函数y＝4－3sin2x－4cosx(x∈[－π3，2π3])的值域为________．解：y＝4－3sin2x－4cosx＝4－3(1－cos2x)－4cosx＝3cos2x－4cosx＋1＝3(cosx－23)2－13.因为x∈[－π3，2π3]，所以cosx∈[－12，1]．而23∈[－12，1]，所以当cosx＝23时，ymin＝－13.当cosx＝－12时，ymax＝3×(－12)2－4×(－12)＋1＝154.所以所求函数的值域为[－13，154]．【变式探究】2．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2sinx＋sin2x，则f(x)的最小值是___．解：(方法1)(导数法)f′(x)＝2cosx＋2cos2x＝2cosx＋2(2cos2x－1)＝2(2cos2x＋cosx－1)＝2(2cosx－1)(cosx＋1)．因为cosx＋1≥0，所以当cosx12时，f′(x)0，f(x)单调递减；当cosx12时，f′(x)0，f(x)单调递增．所以当cosx＝12，f(x)有最小值．又f(x)＝2sinx＋sin2x＝2sinx(1＋cosx)，所以当sinx＝－32时，f(x)有最小值，即f(x)min＝2×(－32)×(1＋12)＝－332.解：(方法2)(利用最值与极值的关系)因为f(x)＝2sinx＋sin2x的最小正周期为2π，所以只需考虑f(x)在[0，2π]上的最小值即可．f′(x)＝2cosx＋2cos2x＝4cos2x＋2cosx－2，令f′(x)＝0，得cosx＝12或cosx＝－1，所以x＝π3，x＝5π3或x＝π.则函数f(x)在[0，2π]的最小值只能在x＝0，x＝π3，x＝5π3和x＝π中取得，因为f(0)＝0，f(π3)＝332，f(π)＝0，f(5π3)＝－332.所以函数f(x)＝2sinx＋sin2x的最小值为－332.解：(方法3)(换元法)f(x)＝2sinx＋sin2x＝2sinx(1＋cosx)，f2(x)＝4sin2x(1＋cosx)2＝4(1－cosx)(1＋cosx)3，令cosx＝t，t∈[－1，1]，设g(t)＝4(1－t)(1＋t)3，所以g′(t)＝－4(1＋t)3＋12(1＋t)2(1－t)＝4(1＋t)2(2－4t)．当t∈(－1，12)时，g′(t)0，g(t)为增函数；当t∈(12，1)时，g′(t)0，g(t)为减函数；所以当t＝12时，g(t)取得最大值274，即f2(x)的最大值为274，得f(x)的最大值为332.又f(x)＝2sinx＋sin2x为奇函数，解：(方法4)(基本不等式)f(x)＝2sinx＋sin2x＝2sinx(1＋cosx)＝8sinx2cos3x2，f2(x)＝64sin2x2·cos2x2·cos2x2·cos2x2＝643·3sin2x2·cos2x2·cos2x2·cos2x2≤643(3sin2x2＋cos2x2＋cos2x2＋cos2x24)4＝274，当且仅当3sin2x2＝cos2x2，即sin2x2＝14，cos2x2＝34时，等号成立，所以f2(x)的最大值为274，即f(x)的最大值为332.又f(x)＝2sinx＋sin2x为奇函数，所以f(x)的最小值为－332.点评：(1)三角函数的值域(或最值)的常见类型：①可化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)，或y＝Atan(ωx＋φ)——利用三角函数性质及不等式性质求解；②可化为关于sinx，cosx或tanx的二次函数——借助二次函数的性质求解；③可化为含sinx±cosx，sinxcosx——利用换元法转化为二次函数求解．(2)若不是上述类型，常通过适当变形、换元等，利用导数或基本不等式进行求解.考点3·三角函数的值域或最值的应用【例3】在△ABC中，B＝60°，AC＝3，则AB＋2BC的最大值为____________．分析：要求AB＋2BC的最值，首先要将其表达式求出来．在△ABC中，∠B和边AC是确定的，AB、BC是变化的，但∠C一定，则边AB、BC就确定了，可见，AB＋2BC随着∠C的变化而变化，从而可建立AB＋2BC关于∠C的函数关系．解：在△ABC中，由正弦定理得ACsinB＝2R＝332＝2，所以AB＋2BC＝2sinC＋4sin(2π3－C)＝4sinC＋23cosC＝27sin(C＋φ)，C∈(0，2π3)，所以AB＋2BC的最大值为27.答案：27【变式探究】3．如图，半径为1的扇形的圆心角为π3，一个矩形的一边AB在扇形的一条半径上，另一边的两个端点C，D分别在弧和另一条半径上，求此矩形ABCD的最大面积．解：连接OC(图略)，设∠BOC＝α，0α＜π3，设矩形ABCD的面积为S，则BC＝sinα，在△OAD中，ADAO＝tanπ3，所以OA＝13sinα，所以AB＝OB－OA＝cosα－13sinα，所以S＝AB·BC＝(cosα－13sinα)sinα＝cosαsinα－13sin2α＝12sin2α－36(1－cos2α)＝12sin2α＋36cos2α－36＝33sin(2α＋π6)－36.故α＝π6时，Smax＝36.故矩形ABCD的最大面积为36.点评：利用三角函数的最值解决有关问题的一般步骤是：(1)建立目标函数；(2)求最值；(3)作答．其中关键是建立目标函数，而建立目标函数的关键是选取适当的角变量，建立目标函数后，再根据表达式的特点求其最值．1．求三角函数的定义域实际上转化为解三角不等式，常借助三角函数的图象来求解．2．求三角函数的值域(最值)常用的几种类型如下：(1)形如y＝asinx＋bcosx＋k的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域(最值)；(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋k的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)．换元法是求三角函数最值的重要方法，通过换元可将三角函数的最值化归为代数函数的最值，这时要特别注意新元的范围．3．利用三角函数的最值解决有关问题时，关键是引入角α，建立目标函数，然后根据目标函数的特点进行求解．