2020届高考数学一轮总复习 第四单元 三角函数与解三角形 第24讲 两角和与差的三角函数课件 理

高考总复习第（1）轮理科数学第四单元三角函数与解三角形第24讲两角和与差的三角函数1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式．4．熟悉公式的正用、逆用、变形应用．1．两角和与差的三角函数(1)两角和与差的余弦C(α±β)cos(α＋β)＝______________________.cos(α－β)＝______________________.(2)两角和与差的正弦S(α±β)sin(α＋β)＝______________________.sin(α－β)＝______________________.(3)两角和与差的正切T(α±β)tan(α＋β)＝______________________.tan(α－β)＝______________________.1．辅助角公式asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)，其中cosφ＝aa2＋b2，sinφ＝ba2＋b2.2．T(α±β)的常用变形：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)．tanα－tanβ＝tan(α－β)·(1＋tanαtanβ)．1．若cos(α＋β)＝15，cos(α－β)＝35，则tanα·tanβ的值为()A.12B.13C.15D.115解：因为cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝15，①cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝35，②①×3－②得2cosαcosβ＝4sinαsinβ，即tanαtanβ＝12.答案：A2．(经典真题)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝()A．－32B.32C．－12D.12解：原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin30°＝12.答案：D3．已知α∈(π2，π)，sinα＝35，则tan(α＋π4)等于()A.17B．7C．－17D．－7解：因为α∈(π2，π)，sinα＝35，所以cosα＝－45，所以tanα＝－34.所以tan(α＋π4)＝tanα＋11－tanα＝－34＋11＋34＝17.答案：A4.1＋tan15°1－tan15°的值为()A.3B.33C．1D.12答案：A解：1＋tan15°1－tan15°＝tan45°＋tan15°1－tan45°tan15°＝tan(45°＋15°)＝tan60°＝3.5．(经典真题)sin15°＋sin75°的值是_______.解：sin15°＋sin75°＝sin15°＋cos15°＝2(22sin15°＋22cos15°)＝2(sin15°cos45°＋cos15°sin45°)＝2sin60°＝2×32＝62.答案：62两角和与差公式的正用两角和与差公式的逆用与变用两角和与差公式的整体运用考点1·两角和与差公式的正用【例1】已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314，且0βαπ2.(1)tan(α＋π3)的值为；(2)cosβ的值为.解：(1)由cosα＝17，0απ2，得sinα＝1－cos2α＝1－172＝437，所以tanα＝sinαcosα＝437×7＝43，于是tan(α＋π3)＝tanα＋tanπ31－tanαtanπ3＝43＋31－43×3＝－5311.(2)由0βαπ2，得0α－βπ2，又因为cos(α－β)＝1314，所以sin(α－β)＝1－cos2α－β＝1－13142＝3314，所以cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12.答案：（1）－5311（2）12【变式探究】1．(2018·全国卷Ⅱ)已知tan(α－5π4)＝15，则tanα＝___．解：(方法1)(利用正切的差角公式展开求解)tan(α－5π4)＝tan(α－π4)＝tanα－11＋tanα＝15，解得tanα＝32.(方法2)(利用角的配凑求解)因为α＝(α－5π4)＋5π4.所以tanα＝tan（α－5π4）＋tan5π41－tan（α－5π4）tan5π4＝15＋11－15×1＝32.解：(方法3)(利用换元法进行求解)设θ＝α－5π4，则α＝θ＋5π4，且tanθ＝15，所以tanα＝tan(θ＋5π4)＝tanθ＋11－tanθ＝15＋11－15＝32.点评：运用两角和与差的公式求值时，要注意：(1)从所求和已知所含的函数进行分析，明确变形目标和方向．(2)从角度进行分析，寻找所求角与已知角的联系，将“所求角”用“已知角”表示，如α＝(α＋β)－β，α＋π3＝(α＋β)－(β－π3)，2α＝(α＋β)＋(α－β)等．(3)利用同角关系求三角函数值时，要注意根据角的象限确定函数值的符号．考点2·两角和与差公式的逆用与变用【例2】(1)函数y＝23sin(70°＋x)－2cos(10°＋x)的最大值为A.23B.4C.2D.2＋23(2)tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°的值为__________．解：(1)因为70°＋x＝60°＋(10°＋x)，所以原式＝23[sin60°cos(10°＋x)＋cos60°sin(10°＋x)]－2cos(10°＋x)＝cos(10°＋x)＋3sin(10°＋x)＝2[cos(10°＋x)·12＋sin(10°＋x)·32]＝2sin(40°＋x)，所以其最大值为2.故选C.(2)原式＝tan(20°＋40°)(1－tan20°tan40°)＋3tan20°·tan40°＝3(1－tan20°tan40°)＋3tan20°tan40°＝3－3tan20°tan40°＋3tan20°tan40°＝3.答案：(1)C(2)3【变式探究】2．(1)设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝__________.(2)(2017·江西九江联考)已知锐角α，β满足sinα－cosα＝16，tanα＋tanβ＋3tanα·tanβ＝3，则α，β的大小关系是()A．απ4βB．βπ4αC.π4αβD.π4βα解：（1）f(x)＝sinx－2cosx＝5(15sinx－25cosx)，设15＝cosα，25＝sinα，则f(x)＝5(sinxcosα－cosxsinα)＝5sin(x－α)，(方法1)因为x∈R，所以x－α∈R，所以f(x)max＝5.又因为x＝θ时，f(x)取得最大值，所以f(θ)＝sinθ－2cosθ＝5，又sin2θ＋cos2θ＝1，所以sinθ＝15，cosθ＝－25，即cosθ＝－255.(方法2)因为x＝θ时，f(x)取到最大值，所以θ－α＝2kπ＋π2(k∈Z)，所以θ＝α＋2kπ＋π2(k∈Z)，所以cosθ＝cos(α＋π2)＝－sinα＝－255.(2)因为α为锐角，sinα－cosα＝2sin(α－π4)＝160，所以απ4，又tanα＋tanβ＋3tanα·tanβ＝3，所以tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝3，所以α＋β＝π3，又απ4，所以βπ4α.点评：(1)辅助角公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)实质是两角和的正弦公式的逆用，这一公式应用广泛，应熟练掌握．(2)两角和与差的正切公式tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ联系了tanα＋tanβ与tanα·tanβ，涉及tanα＋tanβ与tanα·tanβ的有关问题，常常要对正切公式进行如下变用：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanα·tanβ)．考点3·两角和与差公式的整体运用【例3】已知sinα＋sinβ＝14，cosα＋cosβ＝13，则cos(α－β)的值为__________．解：sinα＋sinβ＝14，cosα＋cosβ＝13，平方相加得：sin2α＋2sinαsinβ＋sin2β＋cos2α＋2cosαcosβ＋cos2β＝116＋19，所以2＋2cos(α－β)＝25144，故cos(α－β)＝－263288.答案：－263288【变式探究】3．设α、β、γ∈(0，π2)，且sinα＋sinγ＝sinβ，cosβ＋cosγ＝cosα，则α－β的值为____________.解：由已知得sinγ＝sinβ－sinα，①cosγ＝cosα－cosβ，②①2＋②2，得1＝2－2(cosαcosβ＋sinαsinβ)，即cos(α－β)＝12.因为sinα＋sinγ＝sinβ，且α、β、γ∈(0，π2)，所以sinαsinβ，故αβ，所以α－β＝－π3.点评：要注意从整体上把握公式的结构特点，例3及其变式3通过平方相加就将问题得到顺利解决．1．对公式的掌握，既要能正用，还要进行逆用及变形使用．记忆公式要注意角、三角函数名称排列以及连接符号“＋”“－”的变化特点，要掌握一些常见的变形使用，如tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ的变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanα·tanβ)等．2．明确变形目标，重视角的变换，注意角的范围．确定变形的目标和方向很重要，根据所求目标及条件常可对角进行一些变换，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，α＝(α＋β)－β，α＋π3＝(α＋β)－(β－π3)等等，再根据条件确定角的范围，计算有关函数值．3．要注意从整体上把握公式的结构特点，根据公式的整体特点采用代数变形(如平方相加、平方相减)，有利于简化复杂的三角运算．