2020届高考数学一轮总复习 第十一单元 选考内容 第84讲 绝对值不等式的解法及其应用课件 理 新

高考总复习第（1）轮理科数学第十一单元选考内容第84讲绝对值不等式的解法及其应用1．理解绝对值的意义．2．会解一些简单的绝对值不等式．3．会利用绝对值不等式的三角不等式证明简单的绝对值不等式．1．含绝对值不等式的解法(1)如果a0，则①|x|a的解集是；②|x|a的解集是.(2)不等式|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c的解法：①换元法：令t＝ax＋b，转化为|t|≤c，|t|≥c型不等式，然后求x，得原不等式的解集；(－a，a)(－∞，a)∪(a，＋∞)②分段讨论法：|ax＋b|≤c(c0)⇔ax＋b≥0，ax＋b≤c，或ax＋b0，－ax＋b≤c.|ax＋b|≥c(c0)⇔ax＋b≥0，ax＋b≥c，或ax＋b0，－ax＋b≥c.(3)不等式|x－a|＋|x－b|≥c的常用解法：①利用绝对值的几何意义的数形结合思想；②零点分段法的分类讨论思想；③构造函数法的函数与方程思想．2．绝对值三角不等式(1)定理1若a，b为实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当时，等号成立；推论1|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.推论2|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|.(2)定理2|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当时，等号成立．ab≥0(a－b)·(b－c)≥01．不等式|3x－2|＜4的解集为.解：因为|3x－2|4⇔－43x－24⇔－23x2.答案：(－23，2)2．设函数f(x)＝|2x－1|＋x＋3，若f(x)≤5，则x的取值范围是.解：f(x)≤5⇔|2x－1|＋x－2≤0，①2x－1≥0，2x－1＋x－2≤0，解得12≤x≤1.②2x－10，－2x＋1＋x－2≤0，解得－1≤x12.综上可得－1≤x≤1.答案:[－1,1]3．不等式|x＋3|－|x－1|0的解集为.解：原不等式等价于|x＋3||x－1|.两边平方得(x＋3)2(x－1)2，解得x－1.故原不等式的解集为{x|x－1}．答案：{x|x－1}4．不等式1≤|x－3|≤6的解集是()A．{x|4≤x≤9}B．{x|－3≤x≤9}C．{x|－3≤x≤2或4≤x≤9}D．{x|－1≤x≤2}解：原不等式等价于：x－3≥0，1≤x－3≤6，或x－30，1≤－x＋3≤6.解得4≤x≤9或－3≤x≤2.所以原不等式的解集为{x|－3≤x≤2或4≤x≤9}．答案：D5．若|x－a|m，|y－a|n，则下列不等式一定成立的是()A．|x－y|2mB．|x－y|2nC．|x－y|n－mD．|x－y|n＋m解：|x－y|＝|x－a－(y－a)|≤|x－a|＋|y－a|m＋n.答案：D|f(x)|g(x)及|f(x)|g(x)型不等式的解法|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法绝对值三角不等式的应用考点1·|f(x)|g(x)及|f(x)|g(x)型不等式的解法【例1】(经典真题)解不等式x＋|2x＋3|≥2.解：原不等式化为|2x＋3|≥2－x.所以x－32，－2x－3≥2－x，或x≥－32，2x＋3≥2－x.解得x≤－5或x≥－13.综上，原不等式的解集是xx≤－5或x≥－13【变式探究】1．(2016·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．解：(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a，当x＝12时等号成立，所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．当a＞1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.所以a的取值范围是[2，＋∞)．点评：解含绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，而根据绝对值的定义去掉绝对值符号是最基本的方法．考点2·|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法【例2】(2018·全国卷Ⅰ)已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若x∈(0，1)时不等式f(x)x成立，求a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，即f(x)＝.1,2,11,2,1-,2xxxx故不等式f(x)＞1的解集为{x|x＞12}．(2)当x∈(0，1)时|x＋1|－|ax－1|＞x成立等价于当x∈(0，1)时|ax－1|1成立．若a≤0，则当x∈(0，1)时|ax－1|≥1；若a＞0，则|ax－1|＜1的解集为x|0＜x＜2a，所以2a≥1，故0＜a≤2.综上，a的取值范围为(0，2]．【变式探究】2．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．解：(1)当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.①当x＜－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解；当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，从而－1≤x≤1；当x＞1时，①式化为x2＋x－4≤0，从而1＜x≤－1＋172.所以f(x)≥g(x)的解集为x－1≤x≤－1＋172.(2)当x∈[－1,1]时，g(x)＝2，所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，等价于当x∈[－1,1]时，f(x)≥2.又f(x)在[－1,1]的最小值必为f(－1)与f(1)之一，所以f(－1)≥2且f(1)≥2，得－1≤a≤1.所以a的取值范围为[－1,1]．点评：（1）若不等式含有两个或两个以上的绝对值，通常采用“零点分段法”求解，其基本步骤是：①求出每个绝对值的原数值等于零的未知数的值(即零点)；②将这些零点标在数轴上，此时数轴分成若干个区间；③在每一个区间上，每一个绝对值符号内的代数式有一个确定的符号，利用绝对值定义去掉绝对值符号，将含绝对值的不等式转化为若干个整式不等式组；④这若干个不等式组的解集的并集就是原不等式的解集．(2)采用数形结合，利用图象法也是解此类不等式的重要方法．(3)若给出集合之间的关系，求参数的问题，要注意合理转化，常转化为恒成立问题或存在性问题进行求解．考点3·绝对值三角不等式的应用【例3】已知关于x的不等式|x－2|－|x－5|－a0的解集为R，求实数a的取值范围．解：不等式的解集为R是指对任意的实数x，不等式都成立．将上述不等式转化为|x－2|－|x－5|a，只需求|x－2|－|x－5|的最小值，利用绝对值三角不等式即可求得．因为||x－2|－|x－5||≤|x－2－(x－5)|＝3，所以－3≤|x－2|－|x－5|≤3.因为|x－2|－|x－5|a的解集为R，所以a－3.故所求实数a的取值范围为(－∞，－3)．【变式探究】3．(经典真题)设函数f(x)＝|x＋1a|＋|x－a|(a0)．(1)证明：f(x)≥2；(2)若f(3)5，求a的取值范围．解：(1)证明：由a0，有f(x)＝|x＋1a|＋|x－a|≥|x＋1a－(x－a)|＝1a＋a≥2.所以f(x)≥2.(2)f(3)＝|3＋1a|＋|3－a|.当a＞3时，f(3)＝a＋1a，由f(3)＜5得3＜a＜5＋212.当0＜a≤3时，f(3)＝6－a＋1a，由f(3)＜5得1＋52＜a≤3.综上，a的取值范围是(1＋52，5＋212)．点评：绝对值三角不等式处理形如|x－a|＋|x－b|或|x－a|－|x－b|的最值问题(或恒成立问题)时非常方便．1．解含有绝对值的不等式的关键是去掉绝对值符号，利用绝对值的定义是去绝对值符号的有效方法．2．解含多个绝对值符号的不等式，常采用零点分区间法，也可数形结合，将不等式的求解问题转化为考察两函数图象之间的关系．3．不等式的解集为R是指不等式恒成立，而解集为∅即不等式的对立面也是不等式恒成立(如f(x)m的解集是∅，则f(x)≤m恒成立)，这两类问题都可转化为最值问题，即f(x)a恒成立⇔af(x)max，f(x)a恒成立⇔af(x)min.4．利用绝对值三角不等式处理形如|x－a|＋|x－b|或|x－a|－|x－b|的最值问题非常方便、快捷．