2020届高考数学一轮总复习 第十一单元 选考内容 第81讲 极坐标系课件 理 新人教A版

高考总复习第（1）轮理科数学第十一单元选考内容第81讲极坐标系1．了解坐标系的作用，了解极坐标的基本概念，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标与直角坐标的互化．2．能在极坐标系中给出简单的图形表示的极坐标方程．1．极坐标系与极坐标(1)极坐标系：在平面内取一个定点O，叫作，自极点O引一条射线Ox，叫作，再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标：设M是平面内的一点，极点O与点M的距离|OM|叫作点M的，记作ρ，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的∠xOM叫作点M的，记作θ.有序数对(ρ，θ)叫作点M的，记作.一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．极点1．极坐标系与极坐标(1)极坐标系：在平面内取一个定点O，叫作，自极点O引一条射线Ox，叫作，再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标：设M是平面内的一点，极点O与点M的距离|OM|叫作点M的，记作ρ，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的∠xOM叫作点M的，记作θ.有序数对(ρ，θ)叫作点M的，记作.一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．极轴极径极角极坐标M(ρ，θ)2．极坐标与直角坐标的互化(1)互化前提是：直角坐标系的原点作为，x轴的正半轴作为，两坐标系中取.(2)互化公式：①x＝，y＝.②ρ2＝，tanθ＝.3．曲线的极坐标方程(1)直线的极坐标方程：若直线过点M(ρ0，θ0)，且与极轴所成的角为α，则它的极坐标方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．极点极轴相同的单位长度ρcosθρsinθ几个特殊位置的直线的极坐标方程：①直线过极点且与极轴所成的角为α：θ＝α和θ＝；②直线过点(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝；③直线过点(a，π2)且平行于极轴：ρsinθ＝.(2)圆的极坐标方程：圆心为(ρ1，θ1)，半径为r的圆的极坐标方程为：ρ2－2ρ1ρcos(θ－θ1)＋(ρ21－r2)＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程：①圆心在极点，半径为r：ρ＝；②圆心在C(a,0)，半径为a：ρ＝；③圆心在C(a，π2)，半径为a：ρ＝.π＋αaar2|a|cosθ2|a|sinθ1．把点P的直角坐标(1，－1)化为极坐标为()A．(2，π4)B．(2，3π4)C．(2，5π4)D．(2，7π4)解：ρ＝12＋－12＝2，tanθ＝－1，又点(1，－1)在第四象限，所以取θ＝7π4，故选D.答案：D2．将点M的极坐标(4，4π3)化为直角坐标为()A．(2,23)B．(－2，－23)C．(23，2)D．(－23，－2)解：x＝4cos4π3＝4×(－12)＝－2，y＝4sin4π3＝－23，所以直角坐标为(－2，－23)．答案:B3．曲线的极坐标方程ρ＝4sinθ化成直角坐标方程为()A．x2＋(y＋2)2＝4B．x2＋(y－2)2＝4C．(x－2)2＋y2＝4D．(x＋2)2＋y2＝4解：因为ρ2＝4ρsinθ，所以x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4.答案：B4．在极坐标系中，过点(3，π3)且垂直于极轴的直线方程为()A．ρcosθ＝32B．ρsinθ＝32C．ρ＝32cosθD．ρ＝32sinθ解：方程为ρcosθ＝3×12，即ρcosθ＝32.答案：A5．(2017·天津卷)在极坐标系中，直线4ρcos(θ－π6)＋1＝0与圆ρ＝2sinθ的公共点的个数为.解：由4ρcos(θ－π6)＋1＝0得23ρcosθ＋2ρsinθ＋1＝0，故直线的直角坐标方程为23x＋2y＋1＝0.由ρ＝2sinθ得ρ2＝2ρsinθ，故圆的直角坐标方程为x2＋y2＝2y，即x2＋(y－1)2＝1.圆心为(0,1)，半径为1.因为圆心到直线23x＋2y＋1＝0的距离d＝|2×1＋1|232＋22＝34＜1，所以直线与圆相交，有两个公共点．答案：2极坐标与直角坐标的互化极坐标背景下处理有关解析几何问题极坐标的综合问题考点1·极坐标与直角坐标的互化【例1】(1)将直角坐标方程(x－3)2＋y2＝9化为极坐标方程；(2)将极坐标方程ρ＝sinθ＋2cosθ化为直角坐标方程，并说明它表示什么曲线．解：(1)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入方程得(ρcosθ－3)2＋(ρsinθ)2＝9，化简得ρ2＝6ρcosθ，即ρ＝0或ρ＝6cosθ，因为ρ＝0表示极点，包含在ρ＝6cosθ中，所以所求的极坐标方程为ρ＝6cosθ.(2)因为ρ不恒为零，方程两边同乘ρ得ρ2＝ρsinθ＋2ρcosθ，化为直角坐标方程为x2＋y2＝y＋2x，即(x－1)2＋(y－12)2＝54.这是以(1，12)为圆心，半径为52的圆．【变式探究】1．化下列极坐标方程为直角坐标方程，并判断它们表示什么曲线．(1)ρcos(θ－π6)＝1；(2)4sin2θ＝3.解：(1)因为ρcos(θ－π6)＝ρ(cosθcosπ6＋sinθsinπ6)＝32ρcosθ＋12ρsinθ，又因为ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，所以该方程化为直角坐标方程为32x＋12y＝1，即3x＋y－2＝0.表示斜率为－3，在y轴上的截距为2的直线．(2)因为4sin2θ＝3，所以4ρ2sin2θ＝3ρ2，又因为ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，所以直角坐标方程为4y2＝3(x2＋y2)，即y2＝3x2，即y＝±3x，其图象是两条直线．点评：(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只需要将直角坐标方程中的x，y，分别用ρcosθ，ρsinθ代替即可得到相应的直角坐标方程．(2)化极坐标方程为直角坐标方程常利用ρcosθ＝x，ρsinθ＝y及ρ2＝x2＋y2进行整体代换得到．要判断极坐标系下曲线的形状，可先将极坐标方程化为直角坐标方程再判断．考点2·极坐标背景下处理有关解析几何问题【例2】(1)已知点A是曲线ρ＝3cosθ上任意一点，求点A到直线ρcosθ＝1的距离的最大值和最小值;(2)在极坐标系下，求曲线ρ＝3截直线ρcos(θ－π4)＝1所得的弦长．解：(1)因为ρ＝3cosθ，即x2＋y2＝3x，(x－32)2＋y2＝94.ρcosθ＝1，即x＝1，故直线与圆相交．所以最大值为32×2－1＝2，最小值为0.分析：将极坐标方程化为直角坐标方程后求解．(2)由ρ＝3化为直角坐标方程为x2＋y2＝9，ρcos(θ－π4)＝1化为直角坐标方程为x＋y＝2.如图，过点O作直线的垂线，垂足为B.|OB|＝|0＋0－2|12＋12＝1，又R＝3，所以2|AB|＝2R2－|OB|2＝42，即所截得的弦长为42.【变式探究】2．(1)(2018·江苏卷)在极坐标系中，直线l的方程为ρsin(π6－θ)＝2，曲线C的方程为ρ＝4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长；(2)(2018·北京卷改编)在极坐标系中，直线ρcosθ＋ρsinθ＝a(a0)与圆ρ＝2cosθ相切，求a的值．解：(1)由直线l：ρsin(π6－θ)＝2化为直角坐标方程为x－3y－4＝0，由ρ＝4cosθ化为直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，它表示圆心为C(2，0)，半径R＝2的圆．设圆心C到l的距离为d，则d＝|2－3×0－4|12＋（－3）2＝1.所以弦长|AB|＝2R2－d2＝24－1＝23.(2)直线的直角坐标方程为x＋y＝a，圆的直角坐标方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，圆心C(1，0)，半径R＝1.因为直线与圆相切，所以d＝|1－a|12＋12＝1，所以|a－1|＝2.又a0，所以a＝2＋1.点评：在极坐标方程背景下处理有关解析几何问题，通常是将极坐标方程化为直角坐标方程，进而将不熟悉的问题转化为熟悉的问题进行求解．考点3·极坐标的综合问题【例3】(经典真题)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标为θ＝π4(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．解：(1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.(2)(方法1)将θ＝π4代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN|＝2，由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为12.(方法2)化为直角坐标处理．C3：θ＝π4化为直角坐标方程为y＝x，又C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，因为圆心到直线的距离d＝|2－1|2＝12，所以|MN|＝212－d2＝21－12＝2，所以△C2MN的面积为12.【变式探究】3.(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4.(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为(2，π3)，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．解：(1)设点P的极坐标为(ρ，θ)(ρ0)，点M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ10)．由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝4cosθ.由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程ρ＝4cosθ(ρ0)．因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB0)．由题设知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB的面积S＝12|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cosα·sinα－π3＝2sin2α－π3－32≤2＋3.当α＝－π12时，S取得最大值2＋3.所以△OAB面积的最大值为2＋3.点评：直线与圆的位置关系的处理，常见的有两种解决方法：方法一：先把涉及的直线、圆的极坐标方程化为直角坐标方程，再根据直角坐标系中相关的知识进行求解；方法二：直接利用极坐标相关知识求解，其关键是将已知条件表示成ρ和θ的关系，这一过程有时需要用到解三角形的知识，并需要掌握直线和圆的极坐标方程．1．熟练掌握特殊位置的直线、圆的极坐标方程．直线和圆的极坐标方程易混淆，可利用直角坐标与极坐标的互化进行辨别和加深理解．2．直角坐标方程化极坐标方程只需将x，y分别换成ρcosθ，ρsinθ即可，而极坐极化直角坐标时，常需两边同乘ρ或同时平方构造ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，然后整体代换．要注意变形过程中方程要保持同解，不要出现增根或漏解．3．由曲线的极坐标方程判断曲线的类型、讨论位置关系等，通常是将极坐标方程化为直角坐标方程，使不熟悉的问题转化为熟悉的问题．对一些简单的直线、圆的问题，也可以直接用极坐标知识解决．