搜索
高考总复习第（1）轮理科数学第十单元计数原理、概率与统计第78讲随机抽样、用样本估计总体1．会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法．2．能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点．3．理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差．能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并给出合理的解释．4．会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．概率(机会)逐个不放回抽签法随机数表法均衡较多一个1．随机抽样(1)简单随机抽样：设一个总体的个体数为N，从中抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的都相等，就把这种抽样的方法叫作简单随机抽样．最常用的简单随机抽样的方法有两种——(抓阄法)和.(2)系统抽样：当总体的个体数目时，可将总体分成的几部分，然后按照事先定出的规则，从每一部分抽取个体，得到所需要的样本，称此抽样为系统抽样．(3)分层抽样：在抽样时，将总体分成___的层，然后按照一定的____，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体____作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同特点是在抽样过程中每一个个体被抽取的，体现了这些抽样方法的客观性和公平性．互不交叉概率相等比例合在一起2．用样本估计总体(1)用样本的频率分布估计总体的分布①频率分布表与频率分布直方图频率分布表和频率分布直方图，是从各小组数据在样本容量中所占比例的大小的角度，来表示数据分布的规律．它可以使我们看到整个样本数据的频率分布情况．绘制频率分布直方图的步骤：a．求极差；b.决定组距与组数；c.将数据分组；d.列频率分布表；e.画频率分布直方图．②频率分布折线图连接频率分布直方图中各小长方形上端的，就得到频率分布折线图．③茎叶图茎是指中间的一列数，叶是从生长出来的数．茎叶图表示数据有两个突出的优点．其一是统计图上没有的损失，其二是方便记录与表示．中点原始数据茎的旁边(2)用样本的数字特征估计总体的数字特征①众数、中位数、平均数众数：一组数据中出现次数最多的数．中位数：将数据从小到大(或从大到小)排列，若有奇数个数，则最中间的数是中位数；若有偶数个数，则中间两个数的平均数是中位数．平均数：样本数据的算术平均数，即x－＝1n(x1＋x2＋…＋xn).反映了一组数据的平均水平．②标准差和方差计算公式s＝1n[x1－x－2＋x2－x－2＋…＋xn－x－2].s2＝1n[(x1－x－)2＋(x2－x－)2＋…＋(xn－x－)2].标准差和方差都反映了样本数据的离散程度．1．(经典真题)为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()A．简单随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样解：因为三个学段学生的视力情况差别较大，故需要按学段分层抽样．答案：C2．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则()A．p1＝p2p3B．p2＝p3p1C．p1＝p3p2D．p1＝p2＝p3解：在简单随机抽样、系统抽样和分层抽样中，每个个体被抽取的概率均为nN，所以p1＝p2＝p3.答案：D3．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为()7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A.08B．07C．02D．01解：由随机数表法的随机抽样的过程可知选出的5个个体是08,02,14,07,01，所以第5个个体的编号是01.答案：D4．关于频率分布直方图中有关数据，下列说法正确的是()A．直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率B．直方图的高表示取某数的频率C．直方图的高表示该组上的个体数与组距的比值D．直方图的高表示该组上个体在样本中出现的频率与组距的比值解：直方图的高表示频率组距，矩形的面积表示频率．答案：D5．(经典真题)重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如右图，则这组数据的中位数是()A．19B．20C．21.5D．23解：由茎叶图可知这组数据由小到大依次为8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32，所以中位数为20＋202＝20.答案：B抽样方法频率分布直方图茎叶图的应用考点1·抽样方法【例1】(1)用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号．按编号平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组应抽出的号码为126，则第1组中用抽签法确定的号码是____________．(2)(2017·江苏卷)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．解：(1)设在第1组中用抽签法确定的号码为x0，根据系统抽样的概念，在第2组，应抽出的号码是x0＋8，在第3组，应抽出的号码是x0＋2×8，……在第n组，应抽出的号码是x0＋(n－1)×8，由条件，第16组应抽出的号码为126，则x0＋(16－1)×8＝126，所以x0＝6，故用抽签法在第一组中确定的号码为6.(2)因为抽样比＝样本容量总体个数＝60200＋400＋300＋100＝350，所以应从丙种型号的产品中抽取350×300＝18(件)．答案：(1)6(2)18【变式探究】1．(1)(经典真题)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是.解：(1)对数据进行分组，在区间[139,151]上，有几组就有几个运动员．因为35÷7＝5，因此可将编号为1～35的35个数据分成7组，每组有5个数据，在区间[139,151]上共有20个数据，分在4个小组中，每组取一人，共取4人．答案：4(2)（2019·贵州铜仁月考）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()A．200,20B．100,20C．200,10D．100,20解：(2)由图1知，学生总数为3500＋4500＋2000＝10000人，故样本容量为10000×2%＝200.由图2知，高中生近视人数为2000×50%＝1000人，按2%的比例抽取，应抽取1000×2%＝20人．答案：A点评：(1)系统抽样的四个步骤可简记为“编号——分段——确定起始号——抽取样本”四步．根据系统抽样的概念，若n部分中在第一部分抽取的号码为x0，分段间隔为d，则由等差数列的知识可知，在第k部分中抽取的第k个号码为x0＋(k－1)d.(2)分层抽样的步骤：①分层；②按比例确定每层抽取个体的个数；③各层抽样(方法可以不同)；④合成样本．采用分层抽样时，要注意公式的准确运用：①抽样比＝样本容量个体总量＝各层样本容量各层个体数量；②某层抽取的个体数＝抽样比×该层个体数．考点2·频率分布直方图【例2】从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图如图所示．(1)直方图中x的值为__________；(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为__________．解：(1)由于(0.0024＋0.0036＋0.0060＋x＋0.0024＋0.0012)×50＝1，解得x＝0.0044.(2)数据落在[100,250)内的频率是(0.0036＋0.0060＋0.0044)×50＝0.7，所以月用电量在[100,250)内的户数为100×0.7＝70.答案：(1)0.0044(2)70【变式探究】2．(2016·山东卷)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()A．56B．60C．120D．140解：由直方图可知，每周自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，则每周自习时间不少于22.5小时的人数为0.7×200＝140.答案：D点评：(1)在频率分布直方图中，要注意掌握如下性质：①每一个小矩形的高等于每一组的频率组距；②每个小矩形的面积表示频率；③所有矩形的面积之和等于1.(2)性质的应用：①若纵轴上存在参数值，则根据“所有矩形的面积之和等于1”，列方程即可求得参数值；②每组的频率、频数的计算：每组的频率＝这小组的频数样本容量＝小矩形的面积；每组的频数＝这一小组的频率×样本容量．考点3·茎叶图的应用【例3】高二到高三的5次大型考试中，甲、乙两位同学的数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别为x－甲，x－乙，则下列结果正确的是()A.x－甲x－乙，甲比乙成绩稳定B.x－甲x－乙，乙比甲成绩稳定C.x－甲x－乙，甲比乙成绩稳定D.x－甲x－乙，乙比甲成绩稳定分析：要得到甲、乙两位同学的平均数的大小及稳定程度，可通过计算x－及方差来判断，也可直接观察茎叶图的分布得到．解：(方法1)x－甲＝15(72＋77＋78＋86＋92)＝81，x－乙＝15(78＋88＋88＋91＋90)＝87.x－甲x－乙，s2甲＝15[(－9)2＋(－4)2＋(－3)2＋52＋112]＝50.4，s2乙＝15[(－9)2＋12＋12＋42＋32]＝21.6，因为s2乙s2甲，所以乙的成绩稳定，故选D.(方法2)因为乙的成绩数据的“重心”与甲比较偏下，所以x－甲x－乙，又因为乙的成绩比甲的集中，所以乙的成绩稳定，故选D.答案：D【变式探究】3．(2016·石家庄市一模)为比较甲乙两地某月11时的气温情况，随机选取该月中的5天中11时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图，有以下结论：甲乙982689210311①甲地该月11时的平均气温低于乙地该月11时的平均气温；②甲地该月11时的平均气温高于乙地该月11时的平均气温；③甲地该月11时的气温的标准差小于乙地该月11时的气温的标准差；④甲地该月11时的气温的标准差大于乙地该月11时的气温的标准差．其中根据茎叶图能得到的正确结论的编号为()A．①③B．①④C．②③D．②④解：由茎叶图可知甲地5天的气温分别是28℃、29℃、30℃、31℃、32℃，则x－甲＝30℃，s2甲＝2；乙地5天的气温分别是26℃、28℃、29℃、31℃、31℃，则x－乙＝29℃，s2乙＝3.6.所以x－甲x－乙，s甲s乙，选C.点评：(1)平均数、中位数、众数与方差、标准差都是重要的数字特征，可对总体进行一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数可描述总体的集中趋势，方差和标准差可描述波动大小．(2)给定两组数据的茎叶图，比较数字特征时，“重心”下移者平均数大，数据集中者方差较小．1．统计的一个基本思想是通过部分的数据来推测全体数据的性质，这就涉及两个基本问题，一是如何获取样本，二是如何通过样本对总体作出估计．2．获取样本的方法是三