2020届高考数学一轮总复习 第十单元 计数原理 、概率与统计 第75讲 条件概率与事件的相互独立性

高考总复习第（1）轮理科数学第十单元计数原理、概率与统计第75讲条件概率与事件的相互独立性1．了解条件概率和两个事件相互独立的概念．2．理解n次独立重复试验的模型．3．会利用条件概率、相互独立事件的概率的乘法公式计算一些事件的概率，会计算在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率及解决一些简单的实际问题．条件概率P(B|A)[0,1]1．条件概率(1)一般地，若有两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下考虑事件B发生的概率，称此概率为A已发生的条件下B的，记作.(2)设A，B为两个事件，且P(A)0，则事件A已发生的条件下，事件B发生的条件概率是P(B|A)＝.(3)条件概率的性质：①P(B|A)∈；②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．2．事件的相互独立性(1)设A，B为两个事件，如果P(AB)＝，则称事件A，B独立．(2)设A，B为两个事件，A与B相互独立，那么A与B，A与B、A与B也都.(3)两个事件的独立性可以推广到n(n2)个事件的独立性，且若事件A1，A2，…，An相互独立，则这n个事件同时发生的概率P(A1A2…An)＝.P(A)P(B)相互独立3．独立重复试验(1)一般地，在下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．(2)在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率均为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝.相同条件1．(2017·河北“五个一名校联盟”二模)某个电路开关闭合后出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为()A.110B.15C.25D.12解：设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A，“开关第二次闭合后出现红灯”为事件B，则P(A)＝12，P(AB)＝15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为P(B|A)，所以P(B|A)＝PABPA＝1512＝25.答案：C2．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机抽取1个球，则取出的两球都是红球的概率为()A.13B.12C.19D.16解：用A，B表示分别表示从甲、乙袋子中随机抽取1个球，抽出的球是红球的事件，则P(A)＝46，P(B)＝16，因为分别从甲、乙两袋中各随机抽取1个球，取出的两球都是红球所对应事件为AB，所以P(AB)＝P(A)·P(B)＝46×16＝19.答案：C3．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是()A.512B.12C.712D.34解：用间接法考虑．事件A，B一个都不发生的概率为P(A－B－)＝P(A－)·P(B－)＝12×C15C16＝512，所以所求的概率为1－P(A－B－)＝1－512＝712.答案：Ｃ4．在6次独立重复试验中，每一次试验中成功的概率为12，则恰好成功3次的概率为()A.316B.516C.716D.58解：P(X＝3)＝C36(12)3(12)3＝516.答案：B５．(经典真题)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()A．0.648B．0.432C．0.36D．0.312解：根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为C230.62×0.4＋0.63＝0.648.答案：Ａ条件概率相互独立事件的概率n次独立重复试验的概率考点1·条件概率【例1】两位工人加工同一种零件共100个，甲加工了40个，其中35个合格品，乙加工了60个，其中50个合格品．令A事件为“从100个产品中任意取一个，取出的是合格品”，B事件为“从100个产品中任意取一个，取到甲生产的产品”．则P(A|B)等于()A.25B.35100C.78D.57分析：P(A|B)表示在100个产品中任意取一个，取到甲生产的产品的条件下，取出的是合格品的概率．可利用条件概率的定义或利用缩小样本空间的方法计算P(A|B)．解：(方法1)因为P(AB)＝35100＝720，P(B)＝40100＝25.所以P(A|B)＝PABPB＝72025＝78.(方法2)因为n(AB)＝35，n(B)＝40.所以P(A|B)＝nABnB＝3540＝78.答案：C【变式探究】1．甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为()A.110B.23C.13D.14解：(方法1)设“甲乙相邻”为事件A，“甲丙相邻”为事件B，五位同学站成一排照相留念，甲乙相邻的排法有A22A44＝48种，即n(A)＝48.在甲乙相邻的条件下，甲丙相邻的排法有2A33＝12种，即n(AB)＝12.所以在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率P＝P(B|A)＝nABnA＝1248＝14.(方法2)设“甲乙相邻”为事件A，“甲丙相邻”为事件B，则P(A)＝A44A22A55，而P(AB)＝2A33A55，所以P(B|A)＝PABPA＝14.点评：计算条件概率时，可按如下步骤进行：第一步，判断是否为条件概率．若题目中出现“已知”“在……前提下”等字眼，一般为条件概率．题目中若没有出现上述字眼，但已知事件的出现影响所求事件的概率时，也需注意是否为条件概率．若题目明确要求P(A|B)，则是要计算在事件B发生的条件下，事件A发生的概率．第二步，计算概率，这里有两种思路．思路一：直接利用条件概率的计算公式计算条件概率，即先分别求出P(AB)，P(B)，再利用公式P(A|B)＝P（AB）P（B）计算．思路二：缩小样本空间计算条件概率．如求P(A|B)，可分别求出事件B，AB包含的基本事件的个数，再利用公式P(A|B)＝n（AB）n（B）计算.考点2·相互独立事件的概率【例2】甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(1)求甲恰好4局赢得比赛的概率；(2)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率．解：用Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获胜”，则P(Ak)＝23，P(Bk)＝13，k＝1,2,3,4,5.(1)用A表示“甲恰好4局赢得比赛”，则A＝A1B2A3A4.根据事件的相互独立性得P(A)＝P(A1B2A3A4)＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＝23×13×23×23＝881.(2)用B表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，则B＝A1A2＋B1A2A3＋A1B2A3A4.所以P(B)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)·P(A3)P(A4)＝23×23＋13×23×23＋23×13×23×23＝5681.【变式探究】2．在例2的条件下，若记X为比赛决出胜负时的总局数，试求P(X＝3)的值．解：X＝3表示决出胜负的局数为3局，即“甲恰好3局赢得比赛”或“乙恰好3局赢得比赛”．所以P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3)＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝29.点评：求解相互独立事件时，要注意：(1)正确设出有关事件；(2)在应用相互独立事件的概率乘法公式时，要认真审题，注意关键词“至少有一个发生”、“至多有一个发生”、“恰有一个发生”的意义，正确地将其转化为互斥事件进行求解；(3)正面计算较繁或难于入手时，可以从其对立事件入手进行计算．考点3·n次独立重复试验的概率【例3】一同学投篮每次命中的概率是12，该同学连续投篮5次，每次投篮相互独立．(1)求连续命中4次的概率；(2)求命中4次的概率．解：(1)设“连续命中4次”的事件为A，则A包含“第1至第4次命中第5次没有命中”和“第1次没有命中但第2至第5次命中”两种情况，所以P(A)＝(12)4·(1－12)＋(1－12)·(12)4＝2×(12)5＝(12)4＝116.(2)5次独立重复试验，恰好命中4次的概率为P(X＝4)，所以P(X＝4)＝C45(12)4·(1－12)＝5×(12)5＝532.【变式探究】3．在例3的条件下，求：(1)连续命中3次，另2次没命题中的概率；(2)恰好命中3次的概率．解：(1)设“连续命中3次”的事件为B，则B包含“第1至第3次命中，第4、第5次没有命中”；“第1次没命中，第2至4次命中，第5次没命中”；“第1、2次没命中，第3至第5次命中”3种情况，所以P(B)＝(12)3·(1－12)2＋(1－12)·(12)3·(1－12)＋(1－12)2·(12)3＝3×(12)5＝332.(2)5次独立重复试验，恰好命中3次的概率为P(X＝3)，所以P(X＝3)＝C35(12)3·(1－12)2＝10×(12)5＝516.点评：(1)独立重复试验，是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验．在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率均为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.在利用该公式时一定要审清公式中的n，k各是多少．1．求条件概率的基本方法：①P(B|A)＝PABPA，②P(B|A)＝nABnA.2．事件的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念，两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响．由相互独立事件的定义不难理解，如果事件A与B是相互独立，那么事件A与B－、A－与B、A－与B－也都相互独立．3．对于较复杂的概率问题，应分清事件的构成以及概率的转化，熟悉“至少有一个发生”、“至多有一个发生”、“恰有一个发生”等词语的真实含义，并注意运用集合的观点，利用事件的内在联系，促成复杂事件的概率问题向简单事件的概率问题转化．4．解决概率问题的一般步骤可概括如下：第一步，确定事件的性质古典概型，几何概型，互斥事件，独立事件，n次独立重复试验，即将所给问题归结到五类事件中的某一种．第二步，判断事件的运算和事件，积事件，即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式．第三步，运用公式求得结果．古典概型：PA＝mn，几何概型：PA＝μAμΩ，互斥事件：PA∪B＝PA＋PB，PA·B＝0，条件概率：PB|A＝PABPA，独立事件：PA·B＝PA·PB，n次独立重复试验：Pnk＝Cknpk1－pn－k.