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高考总复习第（1）轮理科数学第十单元计数原理、概率与统计第72讲排列、组合的综合应用问题1．进一步掌握两个计数原理，能对一个具体的计数问题进行合理分类或分步，转化为基本的计数问题．2．进一步掌握解决排列、组合综合问题的基本思路和基本方法．解决排列组合的综合应用应遵循计数问题的四种基本原则：(1)特殊优先原则：在有限制的排列组合问题中，可以以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；也可以以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．(2)先组合后排列原则：对于有限制的条件的排列问题，常可分步进行，先组合后排列，即先取出元素再安排元素，这是分步乘法计数原理的典型应用．(3)正难则反原则：若从正面直接解决有困难，则考虑事件的对立事件，从不适合题目的情况入手，再整体排除．(4)策略针对性原则：针对一些如相邻问题、不相邻问题、定序问题等计数问题，常常有一些固定的模式可遵循．1．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有()A．24种B．18种C．12种D．6种解：因为黄瓜必须种植，所以先在余下的3种蔬菜品种中选两种，再进行排列，共有C23A33种，即有18种．答案：B2．在某次对外交流活动中，组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有()A．36种B．12种C．18种D．48种解：本题分两类：若小张或小赵入选，则有选法C12C12A33＝24种；若小张、小赵都入选，则有选法A22A23＝12种，共有选法36种．答案：A3．从1,2,3,4,5,6,7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为()A．432B．288C．216D．108解：首先个位数字必须为奇数，从1,3,5,7四个中选择一个有C14种，再从剩余3个奇数中选择一个，从2,4,6三个偶数中选择两个，进行十位，百位，千位三个位置的全排．则共有C14C13C23A33＝216个．答案：C4．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为()A．A88A29B．A88C29C．A88A27D．A88C27解：分两步：第一步将所有学生先排列，有A88种排法；第二步，将两位老师插入9个空中，有A29种方法，故共有A88A29种排法．答案：A5．(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A．12种B．18种C．24种D．36种解：由题意可得其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C13·C24·A22＝36(种)，或列式为C13·C24·C12＝3×4×32×2＝36(种)．答案：D有附加条件的排列组合问题排列组合综合问题分组与分配问题考点1·有附加条件的排列组合问题【例1】(1)(经典真题)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有()A．144个B．120个C．96个D．72个(2)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()A．3×3!B．3×(3！)3C．(3！)4D．9!解：(1)分两类：第一类，万位数字为4.第一步，把4排在万位上，有1种方法；第二步，个位数字从0,2中任选一个，有C12种方法，第三步，排其他位置有A34种方法．根据分步计数原理共有1×C12×A34＝48个偶数．第二类：万位数字为5.第一步，把5把在万位上，有1种方法；第二步，个位数字从0,2,4中任选一个有C13种方法，第三步，排其他位置共有A34种方法．根据分步计数原理共有1×C13×A34＝72个偶数．根据分类计数原理，符合条件的偶数共有48＋72＝120(个)．(2)可分两步进行：先把三个家庭分别排列，每个家庭有3！种排法，三个家庭共有3！×3！×3！种排法．再排三个家庭进行全排列，共有3！种排法．因此，不同的坐法种数为(3！)4种，故选C.答案：(1)B(2)C【变式探究】1．(1)由数字0,1,2,3,4,5组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数的个数为.(2)(经典真题)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A．72B．120C．144D．168解：(1)分两类，第一类，首位为奇数的奇偶相间．第一步：把1,3,5三个数排列在奇数位上，有A33种方法；第二步：把0,2,4三个数排在偶数位上，有A33种方法．根据分步计数原理，共有A33×A33＝36个．第二类，首位为偶数的奇偶相间．第一步：把1,3,5三个数排列在偶数位上，有A33种方法；第二步：把0,2,4三个数排在奇数位上，有2×A22种方法．根据分步计数原理，共有A33×2×A22＝24个．根据分类加法原理，共有36＋24＝60个满足条件的数．(2)歌舞类节目记为a1，a2，a3，小品类节目记为b1，b2，相声类节目记为c.先排a1，a2，a3，顺序如×b1×b2×c×，共有A33A34种方法，b1b2相邻前提下，×b1b2×c×，插空法共有A22A33A22种方法．所以同类节目不相邻的排法种数为A33A34－A22A33A22＝A33·(A34－4)＝6×20＝120.答案:(1)60(2)B点评：对有限制条件的排列问题的求解步骤：第一步，先弄清分类或分步的主体，即是从元素还是位置入手进行分类或分步，其原则是谁“特殊”，谁优先；第二步，若需分类，先建立恰当的分类标准，若分步，则建立恰当的步骤顺序；第三步，对每一类或每一步利用排列的相关知识计算方法种数；第四步，根据分类加法或分步乘法原理，最后计算出完成这件事的方法总数．考点2·排列组合综合问题【例2】(2017·天津卷)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)分析：先选出4个数来，再进行排列．由于要求至多有一个偶数，可按选取偶数的要求进行分类．解：①当组成四位数的数字中有一个偶数时，四位数的个数为C35·C14·A44＝960.②当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为A45＝120.故符合题意的四位数一共有960＋120＝1080(个)．答案：1080【变式探究】2．(2017·浙江卷)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有种不同的选法．(用数字作答)解：(方法1)只有1名女生时，先选1名女生，有C12种方法；再选3名男生，有C36种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法．由分步乘法计数原理知，共有C12C36A24＝480(种)选法．有2名女生时，再选2名男生，有C26种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法．由分步乘法计数原理知，共有C26A24＝180(种)选法．所以依据分类加法计数原理知共有480＋180＝660(种)不同的选法．(方法2)不考虑限制条件，共有A28C26种不同的选法，而没有女生的选法有A26C24种．故至少有1名女生的选法有A28C26－A26C24＝840－180＝660(种)．点评：这类问题的关键是先选后排，既要注意选时的特殊元素，又要注意排时的特殊要求．考点3·分组与分配问题【例3】6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法：(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；(2)分成三份，每份两本；(3)分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；(4)分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本；(5)分给5个人，每人至少1本．分析：可以根据分类加法计数原理和分步乘法计数原理，结合排列数和组合数来解决这类问题．解：(1)分成三个步骤：第一步，选2本书分配给甲，有C26种方法；第二步，从剩下的4本书中选2本书分配给乙，有C24种方法；第三步，将剩下的2本书分配给丙，有C22种方法．根据分步乘法计数原理，共有C26C24C22＝90种方法．(2)在(1)的基础上，去掉顺序即可，有C26C24C22A33＝15种方法．(3)分成三个步骤：第一步，选1本书成为一组，有C16种方法；第二步，从剩下的5本书中选2本书成为一组，有C25种方法；第三步，将剩下的3本书成为一组，有C33种方法．根据分步乘法计数原理，共有C16C25C33＝60种方法．(4)在(3)的基础上，把三组书分配给3个人即可，有C16C25C33A33＝360种方法．(5)分成两个步骤：第一步，分成5组，有C26种方法；第二步，将5组分配给5个人，有A55种方法．根据分步乘法计数原理，共有C26A55＝1800种方法．【变式探究】3．(2018·衡阳四校联考)将5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这3所大学就读，每所大学至少保送1人，则不同的保送方法共有()A.150种B.180种C.240种D．540种解：将5位同学分别保送到3所大学就读，每所大学至少保送1人，有如下两种情况：(1)三所大学分别为1,1,3人，其有保送方法C35·A33＝60种；(2)三所大学分别为1,2,2人，其有保送方法C25C23A22·A33＝90种．故不同的保送方法共有60＋90＝150种．答案:A点评：解决分组与分配问题，要注意以下几点：第一，要弄清分配问题与分组问题的不同．把n个元素按照某些条件分配给k个不同的对象，称为分配问题；分成k组，称为分组问题．第二，解决分配问题，一般是先分组，再分配．第三，弄清分组问题的几种情况及其解决方案．分组问题通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．1．解排列组合应用题，首先要仔细审题，分清是排列问题还是组合问题，还是排列与组合的混合问题．然后按元素的性质分类或按事件发生的过程进行分步，转化为基本的排列和组合问题．2．解决排列、组合综合问题的思想方法：(1)化归思想：排列问题题型形式变化多样，常常以全新的面孔出现，有时以数字出现，有时以字母出现，有时还以学生、教师或其他各行各业的人员等等形式出现，问题的背景丰富多变，但不管怎样变化，都可化归为“元素”与“位置”的关系问题．(2)分类思想：将一个复杂的问题，通过某一标准进行合理划分，分类转化为几个小问题予以各个击破，这是高考题中经常考查的数学思想方法．(3)正难则反思想：很多问题当正面难以解决时，可以考虑从反面入手，即采用间接法来进行求解．