2020届高考数学一轮总复习 第十单元 计数原理 、概率与统计 第71讲 两个计数原理与排列、组合的

高考总复习第（1）轮理科数学第十单元计数原理、概率与统计第71讲两个计数原理与排列、组合的基本问题1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理及排列、组合的概念．2．能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．3．会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理及排除、组合的概念分析和解决一些简单的实际问题．m1＋m2＋…＋mnm1×m2×…×mn1．计数原理(1)分类计数原理完成一件事，可以有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法．(2)分步计数原理完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝种不同的方法．2．排列(1)排列的定义：从n个元素中取出m(m≤n)个元素，按照排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的个数，用Amn表示．(3)排列数公式：Amn＝.不同一定的顺序n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(4)全排列：n个不同元素全部取出的排列，叫作n个不同元素的一个全排列，Ann＝n·(n－1)·…·2·1＝n！.于是排列数公式写成阶乘形式为Amn＝，规定0！＝1.3．组合(1)组合的定义：从n个元素中，取出m(m≤n)个元素，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号Cmn表示．不同并成一组(3)组合数公式：Cmn＝＝nn－1n－2…n－m＋1m！＝.由于0！＝1，所以C0n＝1.(4)组合数的两个性质：①Cmn＝(n，m∈N*，且m≤n)．②Cmn＋1＝(n，m∈N*，且m≤n)．1．从甲地到乙地，可以乘火车，可以乘汽车，也可以乘轮船，还可以坐飞机．一天中，火车有4班，汽车有2班，轮船有3班，飞机有1班，那么一天中乘坐这些交通工具，从甲地到乙地共有种不同的走法．解：乘坐每一种交通工具都可由甲地到达乙地，故共有4＋2＋3＋1＝10种走法．答案：102．现有6名同学听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是种．解：因为每位同学均有5种讲座可选择，所以6名同学共有5×5×5×5×5×5＝56种．答案：563．(经典真题)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．(用数字作答)解：毕业留言条数对应于从40个元素中取出2个元素的排列个数．故可根据排列数公式求解．A240＝40×39＝1560.答案：15604．(2016·四川卷)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为()A．24B．48C．60D．72解：第一步，先排个位，有C13种选择；第二步，排前4位，有A44种选择．由分步乘法计数原理，知有C13·A44＝72(个)．答案：D5．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组．则不同选法共有()A．60种B．70种C．75种D．150种解：从6名男医生中选出2名有C26种选法，从5名女医生选1名有C15种选法．由分步乘法计数原理得不同的选法共有C26·C15＝75种．答案：C两个原理的综合运用有限制条件的排列问题有限制的组合问题考点1·两个原理的综合运用【例1】满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A．14B．13C．12D．10分析：先确定方程中二次项系数a的值，再确定常数项b的值，在a≠0时，要注意满足Δ≥0的条件．解：方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的情况应分为两类：①当a＝0时，方程为一元一次方程2x＋b＝0，不论b取何值，方程一定有解．此时b的取值有4个，故此时有4种有序数对．②当a≠0时，方程为二次方程，当Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1时，方程有实根．当a＝－1时，b＝－1,0,1,2都满足；当a＝1时，b＝－1,0,1满足；当a＝2时，b＝－1,0满足．所以a≠0时，满足条件的有序数对有9对．由分类加法计数原理知，满足条件的有序数对(a，b)的个数为4＋9＝13.答案：B【变式探究】1．(2016·全国卷Ⅱ)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A．24B．18C．12D．9分析：先确定从E到G的步骤，再分别考虑每一步中最短路径的条数，最后求出最短路径的总条数．解：从E到G需要分两步完成：先从E到F，再从F到G.从F到G的最短路径，只要考虑纵向路径即可，一旦纵向路径确定，横向路径即可确定，故从F到G的最短路径共有3条．如图，从E到F的最短路径有两类：先从E到A，再从A到F，或先从E到B，再从B到F.因为从A到F或从B到F都与从F到G的路径形状相同，所以从A到F，从B到F最短路径的条数都是3，所以从E到F的最短路径有3＋3＝6(条)．所以小明到老年公寓的最短路径条数为6×3＝18.点评：(1)利用计数原理解决问题的步骤：第一步，由于计数问题一般是解决实际问题，故首先要审清题意，弄清完成一件事件是怎样的；第二步，分析完成这件事应采用分类、分步、先分类后分步、先分步后分类四类中哪一种；第三步，弄清在每一类或每一步中的方法种数；第四步，根据分类加法计数原理或分步乘法计数原理计算出完成这件事的方法种数．(2)注意：审题时要注意问题中的数学问题的特点，如例1中要注意方程的最高次项的系数含有参数a，此时应考虑a是否为0，若a＝0，则该方程就是一元一次方程，不能用一元二次方程的解决方法来解决问题．考点2·有限制条件的排列问题【例2】六人按下列要求站成一排，分别有多少种不同的站法？(1)甲站排头，乙站排尾；(2)甲、乙必须相邻；(3)甲、乙不相邻．解：(1)分两步：第一步，先安排甲和乙，有1种方法；第二步，再安排其他人，有A44种方法．根据分步乘法原理，共有1×A44＝24种站法．(2)先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，有A55种站法，再把甲、乙进行全排列，有A22种站法，根据分步乘法原理，共有A55·A22＝240种站法．(3)第一步先让甲、乙外的四人站队，有A44种；第二步，再将甲、乙排在4人形成的5个空档(含两端)中，有A25种，故共有A44·A25＝480种站法．【变式探究】2．六人按下列要求站成一排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不站排头，乙不站排尾；(2)甲、乙之间间隔两人；(3)甲、乙、丙三人从左至右按从高到矮排队．解：(1)(方法1:按甲的排法进行分类)第一类：甲站中间4个位置，先安排甲有A14种方法，再安排乙有A14种方法，最后安排其他人有A44种方法．由分步计数原理，共有A14A14A44＝384种方法．第二类：甲站排尾．先安排甲有1种方法，再安排其他人有A55种方法，所以共有A55＝120种方法．由分类计数原理共有384＋120＝504种站法．(方法2:间接法)没有限制条件有A66＝720种方法．不符合要求的方法有：甲站排头的A55＝120种，乙站排尾的A55＝120种方法．甲站排头、乙站排尾的有A44种．所以共有A66－2A55＋A44＝720－2×120＋24＝504种站法．(2)先从甲、乙外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有A24种，然后把甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人做全排列，有A33种方法，最后对甲、乙进行排列，有A22种方法，故共有A24·A33·A22＝144种站法．(3)这是定序问题．(方法一)先任意排有A66种方法，而3人顺序唯一，故共有A66A33＝120种．(方法二)在六个位置上先排定其他的三人有A36种，余下的3人按要求只有一种排法，故有A36＝120种方法．(方法三)先在六个位置中选出3个位置排甲、乙、丙，共有C36种方法，再在剩下的位置排其他人有A33种方法．故共有C36A33＝120种方法．点评：(1)对有限制条件的排列问题的求解步骤：第一步，先弄清分类或分步的主体，即是从元素还是位置入手进行分类或分步，其原则是谁“特殊”，谁优先；第二步，若需分类，先建立恰当的分类标准，若分步，则建立恰当的步骤顺序；第三步，对每一类或每一步利用排列的相关知识计算方法种数；第四步，根据分类加法或分步乘法原理，最后计算出完成这件事的方法总数．(2)对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“间接法”，对特殊元素优先考虑；对于“相邻”问题，常采用“捆绑法”的技巧，对于“不相邻”元素常采用“插空法”的技巧．考点3·有限制的组合问题【例3】(2016·南昌市高三一模)甲、乙两人从4门课程中各选修两门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有()A．30种B．36种C．60种D．72种解：(方法1)甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法可以分为两类：①甲、乙所选的课程中2门均不相同，甲先从4门中任取2门，乙选剩下的2门，共有C24C22＝6种不同的选法．②甲、乙所选的课程中有且只有1门相同，分两步：第一步，从4门中先任取1门作为相同的课程，有C14种选法；第二步，甲从剩下的3门中任选1门，乙从最后剩下的2门中任选1门，有C13C12＝6种选法．由分步乘法计数原理得共有C14C13C12＝24种不同的选法．综上，由分类加法计数原理，甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有6＋24＝30种．(方法2)甲、乙两人选择课程的所有可能选法有C24C24＝36种，甲、乙两人选择2门相同课程的所有选法有C24×1＝6种，因此，甲、乙所选的课程至少有1门不相同的选法共有36－6＝30.答案：A【变式探究】3．男演员4名，女演员6名，其中男女队长各1人，选派5人外出演出．(1)队长至少有1人参加，有种选派方法；(2)至少有一名男演员，有种选派方法．(用数字作答)解：(1)队长至少有一人参加，有两种情况：①只有一名队长参加有C12C48；②二名队长都参加有C22C38，所以共有N＝C12C48＋C22C38＝196(种)．(2)(方法一)可分类考虑即①1男4女；②2男3女；③3男2女；④4男1女，故有：N＝C14C46＋C24C36＋C34C26＋C44C16＝246(种)．(方法二)间接法，10人中取5人的组合为C510，其中全部是女演员的有C56，所以符合题意的有C510－C56＝252－6＝246(种)．答案:196246点评：组合问题的常见类型及处理方法：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”、“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题须注意“至少”与“至多”这两个关键词的含义，进行适当分类处理．可采用直接法或间接法．一般地，当用直接法分类复杂时，可考虑用间接法处理．1．两个原理是推导排列、组合数公式的依据，又是解决排列、组合问题的基本方法；同时，又能独立地解决一些简单的计数问题，因此掌握两个原理是处理计数问题的基础．2．在运用两个原理解决有关计数问题时，第一要注意搞清楚“完成一件事”的具体含义，应善于从语言的差异与变化中弄清面临怎样的“一件事”；第二要善于分清具体问题的“分类”与“分步”．“分类”表现为其中任何一类的任何一种方法均可独立完成所给事件，而“分步”必须把各步均完成才能完成所给事件．在解题过程中要能正确地得出结论，还必须有科学处理题中所给事件的能力，对于同一事件可做不同的处理，从而得到不同的解法．3．排列、组合应用题的分类对策