2020届高考数学一轮总复习 第三单元 导数及其应用 第20讲 导数的实际应用及综合应用课件 理 新

高考总复习第（1）轮理科数学第三单元导数及其应用第20讲导数的实际应用及综合应用1．掌握利用导数解决实际问题的基本思路，能利用导数解决简单的实际问题中的优化问题．2．能利用导数解决函数、方程、不等式有关的综合问题．1．优化问题(1)社会经济生活、生产实践与科学研究等实际问题中有关利润最大、用料最省、效率最高等问题通常称为优化问题．(2)利用导数解决优化问题的基本思路上述解决问题的过程是一个典型的数学建模过程．2．导数的综合问题在高考的解答题中，每年都要设计一道函数的综合题，问题常常含有指数式、对数式、三角函数式等超越式，除了与切线、单调性、极值、最值等内容的综合，还常与方程、不等式等进行综合，解答这样的综合问题，只依据函数的知识无法求解，需要运用导数的方法进行解决．运用导数的方法研究方程、不等式的基本思路是构造函数，通过导数研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值，根据函数的性质推断不等式的成立情况及方程实根的个数．1．已知某商品生产成本C与产量q的关系为C＝100＋4q，单价p与产量q的函数关系式为p＝25－18q.(1)利润L与产量q的函数关系为；(2)产量q＝时，利润L最大？解：(1)因为收入R＝q·p＝q(25－18q)＝25q－18q2.所以利润L＝R－C＝(25q－18q2)－(100＋4q)＝－18q2＋21q－100(0q200)．(2)L′＝－14q＋21.令L′＝0，即－14q＋21＝0，得q＝84.当q∈(0,84)时，L′0；当q∈(84,200)时，L′0.因此，q＝84是函数L的极大值点，也是最大值点．所以产量为84时，利润L最大．答案：（1）L＝－18q2＋21q－100(0q200)（2）842．(2018·河南南阳第三次联考)关于函数f(x)＝2x＋lnx，下列说法错误的是()A．x＝2是f(x)的极小值点B．函数y＝f(x)－x有且只有1个零点C．存在正实数k，使得f(x)kx恒成立D．对任意两个正实数x1，x2，且x2x1，若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x24解：f′(x)＝－2x2＋1x＝x－2x2，x0，f′(2)＝0，且当0x2时，f′(x)0,f(x)单调递减，当x2时，f′(x)0，函数f(x)单调递增，因此，x＝2是f(x)的极小值点．A正确．设g(x)＝f(x)－x＝2x＋lnx－x，则g′(x)＝－2x2＋1x－1＝－x－122＋74x2.当x0时，g′(x)0恒成立，即g(x)单调递减，又g(1e)＝2e－1－1e0，g(e2)＝2e2＋2－e20，所以g(x)有且只有一个零点，B正确．设h(x)＝fxx＝2x2＋lnxx，则h′(x)＝－4＋x－xlnxx3，令F(x)＝－4＋x－xlnx，则F′(x)＝－lnx，所以F(x)在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减，所以F(x)≤F(1)0，所以h′(x)0，即h(x)＝2x2＋lnxx在(0，＋∞)上递减，无最小值．所以不存在正实数k，使得f(x)kx恒成立，C错误．(作为选择题这时可得结论，选C)．对于D选项，因为f′(x)＝x－2x2，所以f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，又因为f(x1)＝f(x2)，x1x2，所以0x12，x22，构造函数g(x)＝f(x)－f(4－x)，因为f(x)＝2x＋lnx，所以g′(x)＝－8x－22x24－x2≤0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减，又因为0x12，所以g(x1)g(2)＝0，所以f(x1)f(4－x1)，又f(x1)＝f(x2)，所以f(x2)f(4－x1)，因为x22,4－x12，且f(x)在(2，＋∞)上单调递增，所以x24－x1，即x1＋x24.答案：C实际应用问题导数的综合问题考点1·实际应用问题【例1】(经典真题)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y＝ax2＋b(其中a，b为常数)模型．(1)求a，b的值；(2)该公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．解：(1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5,40)，(20,2.5)．将其分别代入y＝ax2＋b，得a25＋b＝40，a400＋b＝2.5，解得a＝1000，b＝0.分析：(1)根据M，N两点坐标求得a，b的值；(2)根据导数先求切线方程，再求f(t)，最后利用导数求最值．(2)①由(1)知，y＝1000x2(5≤x≤20)，则点P的坐标为(t，1000t2)．设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B两点，y′＝－2000x3，则l的方程为y－1000t2＝－2000t3(x－t)，由此得A(3t2，0)，B(0，3000t2)．故f(t)＝3t22＋3000t22＝32t2＋4×106t4，t∈[5,20]．②设g(t)＝t2＋4×106t4，则g′(t)＝2t－16×106t5.令g′(t)＝0，解得t＝102.当t∈(5,102)时，g′(t)＜0，g(t)是减函数；当t∈(102，20)时，g′(t)＞0，g(t)是增函数．从而，当t＝102时，函数g(t)有极小值，也是最小值，所以g(t)min＝300，此时f(t)min＝153.答：当t＝102时，公路l的长度最短，最短长度为153千米．【变式探究】1．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．解：(1)因为蓄水池的侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．根据题意得200πrh＋160πr2＝12000π，所以h＝15r(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝π5(300r－4r3)．又由r0，h0，可得r53，故函数V(r)的定义域为(0,53)．(2)因为V(r)＝π5(300r－4r3)，所以V′(r)＝π5(300－12r2)．令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(舍去)．当r∈(0,5)时，V′(r)0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r∈(5,53)时，V′(r)0，故V(r)在(5,53)上为减函数．由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时，h＝8，即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．点评：利用导数解决生活中的实际应用题的一般步骤：(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答．考点2·导数的综合问题【例2】(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ae2x＋(a－2)ex－x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．解：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝2ae2x＋(a－2)ex－1＝(aex－1)(2ex＋1)．(i)若a≤0，则f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，＋∞)单调递减．(ii)若a＞0，则由f′(x)＝0得x＝－lna.当x∈(－∞，－lna)时，f′(x)＜0；当x∈(－lna，＋∞)时，f′(x)＞0.所以f(x)在(－∞，－lna)单调递减，在(－lna，＋∞)单调递增．(2)(i)若a≤0，由(1)知，f(x)至多有一个零点．(ii)若a＞0，由(1)知，当x＝－lna时，f(x)取得最小值，最小值为f(－lna)＝1－1a＋lna.①当a＝1时，由于f(－lna)＝0，故f(x)只有一个零点；②当a∈(1，＋∞)时，由于1－1a＋lna＞0，即f(－lna)＞0，故f(x)没有零点；③当a∈(0,1)时，1－1a＋lna＜0，即f(－lna)＜0.又f(－2)＝ae－4＋(a－2)e－2＋2＞－2e－2＋2＞0，故f(x)在(－∞，－lna)有一个零点．设正整数n0满足n0＞ln(3a－1)，则f(n0)＝en0(aen0＋a－2)－n0＞en0－n0＞2n0－n0＞0.由于ln(3a－1)＞－lna，因此f(x)在(－lna，＋∞)有一个零点．综上，a的取值范围为(0,1)．【变式探究】2．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝1x－x＋alnx.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，证明：f（x1）－f（x2）x1－x2a－2.解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－1x2－1＋ax＝－x2－ax＋1x2.①若a≤2，则f′(x)≤0，当且仅当a＝2，x＝1时，f′(x)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减．②若a＞2，令f′(x)＝0，得x＝a－a2－42或x＝a＋a2－42.当x∈(0，a－a2－42)∪(a＋a2－42，＋∞)时，f′(x)＜0；当x∈(a－a2－42，a＋a2－42)时，f′(x)＞0.所以f(x)在(0，a－a2－42)，(a＋a2－42，＋∞)上单调递减，在(a－a2－42，a＋a2－42)上单调递增．(2)证明：由(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当a＞2.由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2－ax＋1＝0，所以x1x2＝1，不妨设x1＜x2，则x2＞1.由于f（x1）－f（x2）x1－x2＝－1x1x2－1＋alnx1－lnx2x1－x2＝－2＋alnx1－lnx2x1－x2＝－2＋a－2lnx21x2－x2，所以f（x1）－f（x2）x1－x2＜a－2等价于1x2－x2＋2lnx2＜0.设函数g(x)＝1x－x＋2lnx，由(1)知，g(x)在(0，＋∞)上单调递减．又g(1)＝0，从而当x∈(1，＋∞)时，g(x)＜0.所以1x2－x2＋2lnx2＜0，即f（x1）－f（x2）x1－x2＜a－2.点评：高考导数综合问题常用如下特点：（1）背景常规，常由指数函数、对数函数与一次、二次等常见函数组合而成；(2)设问常规，考查主干知识和通性通法；(3)重视数学本质和知识内在联系的考查；(4)重视核心素养和能力的考查，注意数学思想方法和分析问题、解决问题的能力的综合考查．1．利用导数解决优化问题的一般步骤：(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)根据得出的数学结果，检验是否符合问题的实际意义并作答．2．导数综合问题的求解往往是全卷最难的问题，具体求解时，首先要认真审题，审清题目的条件是什么，求解或求证的结论是什么，明确解题目标；第二要合理联想，根据所求，联想相应的处理方法，如证明不等式，常常可以考虑构造函数，恒成立问题，可以考虑将参数分离出来，再进行转化等；第三要细心验算，准确作答，在解答过程中，要注意化归与转化、数形结合、分类讨论等数学思想方法的运