2020届高考数学一轮总复习 第三单元 导数及其应用 第17讲 导数在函数中的应用——极值与最值课件

高考总复习第（1）轮理科数学第三单元导数及其应用第17讲导数在函数中的应用——极值与最值1．掌握函数极值的定义及可导函数的极值点的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)．2．会研究一些简单函数的极值．3．会利用导数求一些函数在给定区间上的最值．1．函数的极值(1)函数极值的定义：设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有点，都有___________，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)；如果对x0附近的所有点，都有___________，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)．极大值与极小值统称为______.f(x)＜f(x0)f(x)f(x0)极值(2)判断可导函数f(x)的极值的方法是：①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极____值；②如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极_____值．大小2．函数的最值(1)(最值定理)一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是______________________，那么它必有最大值和最小值．(2)一般地，求函数f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：①求函数f(x)在(a，b)内的____________.②将f(x)的_______和_______________比较，其中最大的一个为__________；最小的一个为__________.一条连续不断的曲线极值极值端点的函数值最小值最大值1．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．2．对于可导函数f(x)，若f(x)在[a，b]只有一个极值，则这个极值是相应的最值．1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()A．1个B．2个C．3个D．4个解：因为f′(x)与x轴有4个交点，即f′(x)＝0有4个解，但仅左边第二个交点x＝x0满足x＜x0时，f′(x)＜0；x＞x0时，f′(x)＞0，其他交点均不符合该条件．答案：A2．设函数f(x)＝2x＋lnx,则()A.x＝12为f(x)的极大值点B.x＝12为f(x)的极小值点C.x＝2为f(x)的极大值点D.x＝2为f(x)的极小值点解：f′(x)＝x－2x2，令f′(x)＝0，得x＝2.因为0x2时，f′(x)0；x2时，f′(x)0.所以x＝2为f(x)的极小值点．答案：D3．函数y＝xlnx在区间(1，＋∞)上()A.是减函数B.是增函数C.有极小值D.有极大值解：因为y′＝lnx－1lnx2，当x∈(1，e)时，y′0；x∈(e，＋∞)时，y′0，所以x＝e时，函数在(1，＋∞)上有极小值．答案：C4．函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是()A.1，－1B.1，－17C.3，－17D.9，－19答案：C解：令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1.f(1)＝1－3＋1＝－1，f(－1)＝－1＋3＋1＝3，f(－3)＝－17，f(0)＝1.所以最大值为3，最小值为－17.5．函数y＝x3－2x2＋x＋3，x∈[23，1]的值域为__________.解：y′＝3x2－4x＋1，由y′＝0得x1＝13，x2＝1，所以对任意x∈[23，1]，都有y′0.所以函数y＝x3－2x2＋x＋3在x∈[23，1]上单调递减，所以y最大值＝8327，y最小值＝3.所以所求函数的值域为[3，8327]．答案：[3，8327]求函数的极值、最值含参数的函数的极值的讨论含参数的函数的最值讨论考点1·求函数的极值、最值【例1】(2017·全国卷Ⅱ)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为()A．－1B．－2e－3C．5e－3D．1解：函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，则f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)·ex－1＝ex－1·[x2＋(a＋2)x＋a－1]．由x＝－2是函数f(x)的极值点得f′(－2)＝e－3·(4－2a－4＋a－1)＝(－a－1)e－3＝0，所以a＝－1.所以f(x)＝(x2－x－1)ex－1，f′(x)＝ex－1·(x2＋x－2)．由ex－10恒成立，得x＝－2或x＝1时，f′(x)＝0，且x－2时，f′(x)0；－2x1时，f′(x)0；x1时，f′(x)0.所以x＝1是函数f(x)的极小值点．所以函数f(x)的极小值为f(1)＝－1.答案：A【变式探究】1．(2019·天津市红桥模拟)已知函数f(x)＝(x2－4)(x－a)，a为实数，f′(1)＝0，则f(x)在[－2,2]上的最大值是()A.92B．1C.35D.5027解：因为函数f(x)＝(x2－4)(x－a)，所以f′(x)＝2x(x－a)＋x2－4，因为f′(1)＝2(1－a)－3＝0，所以a＝－12，所以f(x)＝(x2－4)(x＋12)＝x3＋12x2－4x－2，f′(x)＝3x2＋x－4，令f′(x)＝0，得x＝－43，或x＝1.当x∈[－2，－43)，或x∈(1,2]时，f′(x)0，函数f(x)为增函数，当x∈(－43，1)时，f′(x)0，函数f(x)为减函数，由f(－43)＝5027，f(2)＝0，得f(x)在[－2,2]上的最大值为5027.(也可不考虑单调性，直接比较f(－2)，f(－43)，f(1)，f(2)的大小．)点评：(1)求可导函数f(x)的极值的步骤：①确定函数的定义域，求导数f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程根左、右值的符号；④作出结论：如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．(2)求可导函数f(x)在[a，b]上最值的步骤：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)各极值与f(a)，f(b)比较，得出f(x)在[a，b]上的最值．考点2·含参数的函数的极值的讨论【例2】(2018·深圳二模节选)已知函数f(x)＝xeax(其中常数e＝2.71828…，是自然对数的底数)，求函数f(x)的极值．解：由f(x)＝xeax求导得f′(x)＝(1＋ax)eax，①当a＝0时，f′(x)＝eax0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，因此函数f(x)无极值；②当a0时，令f′(x)＝(1＋ax)eax＝0，得x＝－1a，当x－1a时，f′(x)0，当x－1a时，f′(x)0，函数f(x)在(－∞，－1a)上单调递减，在(－1a，＋∞)上单调递增．所以函数f(x)存在极小值，其极小值为f(－1a)＝－1ea，无极大值；③当a0时，令f′(x)＝(1＋ax)eax＝0，得x＝－1a，当x－1a时，f′(x)0，当x－1a时，f′(x)0，函数f(x)在(－∞，－1a)上单调递增，在(－1a，＋∞)上单调递减．所以函数f(x)存在极大值，其极大值为f(－1a)＝－1ea，无极小值．2.已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)，求函数f(x)的极值．解：由f′(x)＝1－ax＝x－ax(x0)可知(1)当a≤0时，f′(x)0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；(2)当a0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.当x∈(0，a)时，f′(x)0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)0，所以函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－alna，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a0时，f(x)在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值．【变式探究】点评：对于解析式中含有参数的函数求极值，有时需要分类讨论后解决问题．讨论的思路主要有：(1)参数是否影响f′(x)的零点的存在；(2)参数是否影响f′(x)不同零点的大小；(3)参数是否影响f′(x)在零点左右的符号．如果有影响，则要分类讨论．考点3·含参数的函数的最值讨论【例3】已知函数f(x)＝lnx－ax(a0)，求函数f(x)在[1,2]上的最大值.解：f′(x)＝1x－a＝1－axx(x0)，令f′(x)＝0，得x＝1a.(1)当1a≤1，即a≥1时，函数f(x)在[1,2]上是减函数，所以f(x)max＝f(1)＝－a.(2)当1a≥2时，即0a≤12时，函数f(x)在区间[1,2]上是增函数，所以f(x)max＝f(2)＝ln2－2a.(3)当11a2，即12a1时，函数f(x)在[1，1a]上是增函数，在[1a，2]上是减函数．所以f(x)max＝f(1a)＝－lna－1.综上可知：当0a≤12时，f(x)max＝ln2－2a；当12a1时，f(x)max＝－lna－1；当a≥1时，f(x)max＝－a.【变式探究】3．已知函数f(x)＝lnx－ax(a0)，求函数f(x)在[1,2]上的最小值．分析：本题是将例3求最大值改为求最小值．其中(1)、(2)与例3讨论方法是一致的，但(3)中，最小值一定在端点取到，f(1)和f(2)谁是最小值不确定，需要进一步进行分类讨论求解．解：f′(x)＝1x－a＝1－axx(x0)，令f′(x)＝0，得x＝1a.(1)当1a≤1，即a≥1时，函数f(x)在[1,2]上是减函数，所以f(x)min＝f(2)＝ln2－2a.(2)当1a≥2时，即0a≤12时，函数f(x)在区间[1,2]上是增函数，所以f(x)min＝f(1)＝－a.(3)当11a2，即12a1时，函数f(x)在[1，1a]上是增函数，在[1a，2]上是减函数．又f(2)－f(1)＝ln2－a，所以当12aln2时，f(x)min＝f(1)＝－a；当ln2≤a1时，f(x)min＝f(2)＝ln2－2a.综上可知：当0aln2时，函数f(x)min＝－a；当a≥ln2时，函数f(x)min＝ln2－2a.点评：当函数f(x)中含有参数时，求f(x)在区间上的最值时，常需要讨论，在讨论时，要明确：①讨论的依据——利用单调性；②讨论的关键——根据极值点的位置与区间的关系进行分类；③求解的方法——运用数形结合的思想方法．1．求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)确定f(x)的定义域，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检查f′(x)在方程根左、右值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．2．求可导函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值可按如下步骤进行：(1)求f(x)在(a，b)内的极值；(2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，确定f(x)的最大值和最小值．3．求含参数的极值，首先求定义域；然后令f′(x)＝0，解出根，根据根是否在所给区间或定义域内进行参数讨论，并根据左右两边导函数的正负号，从而判断f(x)在这个根处取极值的情况．4．含参数的最值，首先按照极值点是否在所给区间对参数进行讨论，然后比较区间内的极值和端点值的大小．